Question

[TRẦN BẢO CHI]

cho △ABC vuông tại A.Vẽ đường tròn (O) đường kính AC,đường tròn này cắt cạnh BC tại điểm thứ 2 là D

1)cminh AB²=BD.BC

2)Gọi I lf điểm chính giữa cung nhỏ AD.chúng minh góc ABC bằn góc DIC

3)tia CI cắt AB tại E và cắt AD tại H,tiaAI cắt BC tại F

a/Chứng minh △CAF cân tại C

b/tứ giác AEFH là hình  j? tại sao??

HELP ME. tui đang cần

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét (O) có

ΔADC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔADC vuông tại D

=>AD\(\perp\)BC tại D

Xét ΔABC vuông tại A có AD là đường cao

nên \(AB^2=BD\cdot BC\)

2: Xét (O) có

\(\widehat{DIC}\) là góc nội tiếp chắn cung DC

\(\widehat{DAC}\) là góc nội tiếp chắn cung DC

Do đó: \(\widehat{DIC}=\widehat{DAC}\)

mà \(\widehat{DAC}=\widehat{B}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{DIC}=\widehat{ABC}\)

3: Xét (O) có

\(\widehat{ACI}\) là góc nội tiếp chắn cung AI

\(\widehat{DCI}\) là góc nội tiếp chắn cung DI

\(sđ\stackrel\frown{IA}=sđ\stackrel\frown{ID}\)

Do đó: \(\widehat{ACI}=\widehat{DCI}\)

=>CI là phân giác của góc ACD

Xét (O) có

ΔAIC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAIC vuông tạiI

=>CI\(\perp\)AF tại I

Xét ΔCAF có

CI là đường cao

CI là đường phân giác

Do đó: ΔCAF cân tại C

b: Xét ΔFAC có

AD,CI là các đường cao

AD cắt CI tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔFAC

=>FH\(\perp\)AC

mà AB\(\perp\)AC

nên FH//AB

=>FH//AE

Xét ΔCAE và ΔCFE có

CA=CF

\(\widehat{ACE}=\widehat{FCE}\)

CE chung

Do đó: ΔCAE=ΔCFE

=>\(\widehat{CAE}=\widehat{CFE}=90^0\)

=>EF\(\perp\)BC

mà AD\(\perp\)BC

nên EF//AD

Xét tứ giác AEFH có

AE//FH

EF//AH

Do đó: AEFH là hình bình hành