K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 5 2020

hình bạn tự vẽ

Tam giác ABC tương ứng với a,b,c độ dài các cạnh

từ B dựng đường thẳng song song với tia phân giác AD cắt đường thẳng CA tại E,ta có AE = AB = c

Do AD//BE nên  \(\frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow x=\frac{b}{b+c}.BE\)

Trong tam giác ABE ta có : EB < AB + AE = 2c

vì thế \(x< \frac{2bc}{b+c}\Rightarrow\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Tương tự :  \(\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)\(\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Cộng lại ta được đpcm

13 tháng 1 2019

A B C E D b c x b

Giả sử AB=c,BC=a,CA=b; đường phân giác AD có độ dài x. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E.

Dễ thấy: ^ACE = ^AEC (=^BAC/2) => \(\Delta\)ACE cân tại A => AC=AE=b => CE < 2b (BĐT tam giác)

Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{AD}{CE}=\frac{BA}{BE}\)(Do AD // CE) hay \(\frac{x}{CE}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow x=\frac{c.CE}{b+c}\)

Mà BE < 2b nên \(x< \frac{2bc}{b+c}\). Tương tự thì \(y< \frac{2ca}{c+a};z< \frac{2ab}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm).

8 tháng 4 2020

a) Gọi AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\left(D\in BC\right)\)

Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC tại M

Ta có: \(\widehat{ABM}=\widehat{BAD};\widehat{AMB}=\widehat{DAC}\)

Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)(vì AD là phân giác \(\widehat{BAC}\))

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{ABM}\) nên \(\Delta\)ABM cân tại A)

Từ đó có AM=AB=c. \(\Delta\)ABM có: MB<AM+AB=2c

\(\Delta\)ADC có: MB//AD, nên \(\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{MC}\) (hệ quả định lý Ta-let)

do đó \(AD=\frac{AC}{MC}\cdot MB< \frac{AC}{AC+AM}\cdot2bc=\frac{2bc}{b+c}\)

b) Cmtt câu a) ta có: \(\hept{\begin{cases}y< \frac{2ca}{c+a}\\z< \frac{2ab}{a+b}\end{cases}}\)

Do đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)

21 tháng 7 2020

a) Chứng minh được BĐT \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(*)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Áp dụng BĐT (*) vào bài toán ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT (*) ta có:

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right);\frac{1}{z+x}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\cdot\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)

21 tháng 7 2020

b) áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\\\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\\\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\end{cases}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT ta có:

\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\)

\(\Rightarrow VT\ge VP\)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

3 tháng 10 2019

\(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\)

\(\le\frac{1}{2\sqrt{x^2yz}}+\frac{1}{2\sqrt{y^2xz}}+\frac{1}{2\sqrt{z^2xy}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}}{2\sqrt{xyz}}\)

\(=\frac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}{2xyz}\le\frac{\frac{x+y+x+z+x+y}{2}}{2xyz}=\frac{x+y+z}{2xyz}\)

Dấu '=' xảy ra <=> x=y=z

3 tháng 10 2019

\(\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2\sqrt{x^2yz}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{2\sqrt{xyz}}=\frac{\sqrt{yz}}{2xyz}\)

Tương tự cộng vế với vế -> \(VT\le\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\le VP\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z