Câu hỏi của Đỗ Thu Hà

Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh:$ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2<2\left(ab+bc+ca\right)$

Trần Thùy Dương · Accepted Answer

Ta có :$\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$$\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ (1)Vì $a,b,c$là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có :$a^2< a.\left(b+c\right)$$\Rightarrow a^2< ab+ac$Tương tự :$b^2< ab+bc$$c^2< ca+bc$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)$ (2)Từ (1) và (2)=> ĐpcmCâu trả lời: Ta có :$\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$$\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ (1)Vì $a,b,c$là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có :$a^2< a.\left(b+c\right)$$\Rightarrow a^2< ab+ac$Tương tự :$b^2< ab+bc$$c^2< ca+bc$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)$ (2)Từ (1) và (2)=> Đpcm

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP