BM
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của khoimzx - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 4 2019
Cho \(a=b=c\) ta có:
\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\ge1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\Leftrightarrow1\ge2\)
Bất đẳng thức sai
AT
8 tháng 3 2019
\(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2c^2}\)
\(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\ge\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+2a^2}\)
\(\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2+2b^2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2+c^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1+1+1=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2019
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Ta có \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2c^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}\le\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+2a^2}\le\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\) ; \(\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2+2b^2}\le\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+2a^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2+2b^2}\le\frac{a^2+c^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
//Bạn chép đề sai, vế phải là số 3 chứ ko phải 1
T
13 tháng 2 2020
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c};\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi chia cho 2 ta thu được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
b)Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\). Cần chứng minh:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Cách làm tương tự câu a.
c) \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\le\frac{1}{16}\Sigma\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
d) Em làm biếng quá anh làm nốt đi:P
CM
15 tháng 11 2020
1)
\(2a+\frac{4}{a}+\frac{16}{a+2}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left[\left(a+2\right)+\frac{16}{a+2}\right]-2\ge4+8-2=10\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2
CM
15 tháng 11 2020
2)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a\left(1-4a\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4a\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4a+1-4a}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{b\left(1-4b\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4b+1-4b}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{c\left(1-4c\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4c\left(1-4c\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4c+1-4c}{2}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(1-4a\right)}+\sqrt{b\left(1-4b\right)}+\sqrt{c\left(1-4c\right)}\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{8}\)
@@
Đặt: \(A=\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+c}+\frac{c}{2c+a}\)
\(2A=\frac{2a}{2a+b}+\frac{2b}{2b+c}+\frac{2c}{2c+a}\)
\(2A-3=\frac{2a}{2a+b}-1+\frac{2b}{2b+c}-1+\frac{2c}{2c+a}-1\)
\(2A-3=\frac{-b}{2a+b}+\frac{-c}{2b+c}+\frac{-a}{2c+a}\)
cần cm: \(A\le1\) hay \(2A-3\le-1\) hay
\(\frac{b}{2a+b}+\frac{c}{2b+c}+\frac{a}{2c+a}\ge1\)
bđt này hiển nhiên đúng theo cauchy-schwarz:
\(\frac{b}{2a+b}+\frac{c}{2b+c}+\frac{a}{2c+a}=\frac{b^2}{2ab+b^2}+\frac{c^2}{2bc+c^2}+\frac{a^2}{2ac+a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Vậy bđt được chứng minh @@. "=" khi a=b=c
\(gt\Leftrightarrow\sum\frac{2a}{2a+b}\le2\Leftrightarrow\sum\frac{b}{2a+b}\ge1\)
ta cần cm bđt trên đúng. Thật vậy:
\(\sum\frac{b}{2a+b}=\sum\frac{b^2}{2ab+b^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)(đúng)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)