Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^2+b^2+1=a+b+ab\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2=2a+2b+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-1=0\\b-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=1\)
1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1
=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )
b là số tự nhiên chia 5 dư 4
=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )
Ta có ( b - a )( b + a ) = b2 - a2
= ( 5k + 4 )2 - ( 5k + 1 )2
= 25k2 + 40k + 16 - ( 25k2 + 10k + 1 )
= 25k2 + 40k + 16 - 25k2 - 10k - 1
= 30k + 15
= 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )
2. 2n2( n + 1 ) - 2n( n2 + n - 3 )
= 2n3 + 2n2 - 2n3 - 2n2 + 6n
= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )
3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1
= 3n - 2n2 - ( 4n2 - 3n - 1 ) - 1
= 3n - 2n2 - 4n2 + 3n + 1 - 1
= -6n2 + 6n
= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(a^2+b^2\ge2ab\)
Áp dụng vào ta được :
\(a^2+1\ge2a\)
\(b^2+1\ge2b\)
\(c^2+1\ge2c\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)(ĐPCM)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=\frac{1}{2}\)
Với mọi a,b ta có : ( a - b )2 \(\ge\)0
=> a2 + b2 \(\ge\)2ab => 2 . ( a2 + b2 ) \(\ge\)( a + b )2 = 1
=> a2 + b2 \(\ge\)\(\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a = b = \(\frac{1}{2}\)