Question

[Nguyễn Anh Tú]

 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác                    

Chứng minh rằng:     \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  ta có:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Tương tự cho các BĐT còn lại có:

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)

ĐẲng thức xảy ra khi \(a=b=c\)