Question

[Ánh Right]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=2017

Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2017b+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{2017c+ab}}\)

Answer 1

[Luân Đào]

Có vài cách giải nhưng mình thấy cách này nhanh và đẹp ne.

\(\sqrt{2017a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự rồi cộng lại, ta được:

\(P\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)

Answer 2

[tthnew]

Luân Đào: đoạn \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\) ngược dấu thì phải anh ơi:))

Áp dụng BĐT Bunyakovski thì \(\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2\)

Từ đó..