Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.Cho a,b,c,da,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn a3+b3=2(c3−d3)a3+b3=2(c3−d3) . Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3
2.Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng 1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32
Ta có:
0 < a < 1 ⇒ a - 1 < 0 ⇒ a(a - 1) < 0 ⇒ a2 - a < 0 (1)
Tương tự:
0 < b < 1 ⇒ b2 - b < 0 (2)
0 < c < 1 ⇒ c2 - c < 0 (3)
Cộng (1); (2); (3) vế theo vế ta được:
a2 + b2 + c2 - a - b - c < 0
⇔ a2 + b2 + c2 < a + b + c
⇔ a2+ b2 + c2 < 2 (do a + b + c = 2)
Theo t thì điều kiện thế này:\(-1< a,b,c< 1\)
Vì \(a+b+c=0;-1< a,b,c< 1\) nên trong các số a,b,c thì tồn tại 2 số có cùng dấu.Giả sử \(a>0;b>0;c< 0\)
\(a+b+c=0\Rightarrow c=-\left(a+b\right)\)
Do \(a+b+c=0;-1< a,b,c< 1\) nên:\(a^2+b^2+c^2< \left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< a+b-z\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< -2z< 2\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(0< a< 1\Rightarrow a^2< a\)
Tương tự: \(b^2< b;c^2< c\)
=> a^2+b^2+c^2<a+b+c=2
Ta có: \(0< a< 1\)
\(\Rightarrow a-1< 0\)
\(\Rightarrow a^2-a< 0\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(0< b< 1\Rightarrow b^2-b=a\left(2\right)\)
Và: \(0< c< 1\Rightarrow c^2-c< 0\left(3\right)\)
Cộng: \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\) vế theo vế ta được:
\(a^2+b^2+c^2-a-b-c< 0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(a+b+c=2\right)\)
Vì \(a^2,b^2,c^2\ge0\) nên \(a^2+b^2+c^2\ge0\). ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=0\), thỏa mãn đk đề bài. Vậy GTNN của \(a^2+b^2+c^2\) là 0, xảy ra khi \(a=b=c=0\)
a2 + b2 + c2 < 2
<=> a2 + b2 + c2 < a+ b + c
<=> (a2 - a )+ (b2 - b )+ (c2 - c) < 0
<=> a.(a - 1) + b.(b -1) + c.(c -1) < 0 (*)
Điều này luôn đúng với mọi 0<a<1; 0<b<1; 0<c<1 vì 0<a<1 => a- 1 < 0 => a.(a-1) < 0
tương tự b(b - 1) < 0; c(c -1) < 0
Vậy (*) => đpcm