Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\) (Như đề là lớn hơn hoặc bằng 2)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}=2-\frac{1}{y+1}-\frac{1}{z+1}\)
\(=\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\) (Vì x;y;z là ba số dương nên Áp dụng BĐT Côsi)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}\ge\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\frac{1}{y+1}\ge\frac{2\sqrt{xz}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) (2)
\(\frac{1}{z+1}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\) (3)
Nhân (1);(2);(3) ta có: \(\frac{1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}\ge\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}.\frac{2\sqrt{xz}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}.\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8\sqrt{\left(xyz\right)^2}}{\sqrt{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2}}\)
Với x;y;z > 0 ta có: \(1\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}.\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
\(\Leftrightarrow1\ge8xyz\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+1}\\\frac{y}{y+1}=\frac{z}{z+1}\\\frac{z}{z+1}=\frac{x}{x+1}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=z\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)
Vậy GTLN của xyz = 1/8 khi và chỉ khi x=y=z
P/S: Bài giải của em còn nhiều sai sót, mong mọi người thông cảm, góp ý
We have:
\(A=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3xy+3zx+x+y+z}\le\frac{1}{3xy+3zx+3\sqrt[3]{xyz}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3xy+3zx+3}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3\left(xy+zx+1\right)}\)
Dat \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)
\(\Rightarrow A\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}+1\right)}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
đầu tiên cần c/m x3+y3 >= xy(x+y) (chứng minh=biến đổi tương đương)
ta có x3+y3+1 >= xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)
=>1/(x3+y3+1) <= 1/xy(x+y+z)
tương tự với 2 phân thức còn lại rồi cộng lại
Đặt \(^{\hept{\begin{cases}x=a^2\\y=b^2\\z=c^2\end{cases}}\Rightarrow abc=1}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)
ÁP DỤNG BĐT AM-GM :
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+1\ge2b\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}\)
Tương tự \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}\)
\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ac+a+1}\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(P\le\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
2/Đặt : \(\left(x,y,z\right)=\left(a^3,b^3,c^3\right)\Rightarrow a^3b^3c^3=1\Rightarrow abc=1\)
Có: \(P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)
Ta có: \(a^2-ab+b^2\ge ab\)( dễ dàng CM)
Nên: \(a^3+b^3+1=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+1\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
Từ đó suy ra : \(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)(1)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{a}{a+b+c}\left(2\right),\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{b}{a+b+c}\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) có MAX P=1 với a=b=c=1
Bài 1 :
ÁP dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0,5\)
Ta có : \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) ( ý a )
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
\(4a^3+4b^3+ab\)
\(=3\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3+b^3+ab\right)\)
\(\ge3.\frac{\left(a+b\right)^3}{4}+\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=\frac{3}{4}+a^2+b^2\ge\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0,5\)
Sử dụng bất đẳng thức:
\(x^3+y^3\ge3xy\left(x+y\right)\)
Có: \(M=2018\left(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{xz\left(x+z\right)+xyz}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{xyz}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{xyz}{xz\left(x+y+z\right)}\right)\)
\(M\le2018\left(\frac{x+y+z}{x+y+z}\right)=2018\)
Vậy Max M=2018 khi x=y=z=1
x;y;z có dương không bạn
Đặt\(\hept{\begin{cases}x=a^3\\y=b^3\\z=c^3\end{cases}}\)
Có: \(xyz=1\Rightarrow a^3b^3c^3=1\Leftrightarrow abc=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x+y}=\frac{1}{a^3+b^3+abc}\)
Ta có: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)( tự c/m)
dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x+y}=\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{\left(a+b+c\right)ab}\)
Tương tự: \(\frac{1}{1+z+y}=\frac{1}{c^3+b^3+abc}\le\frac{1}{cb\left(c+b\right)+abc}=\frac{1}{\left(a+b+c\right)cb}\)
\(\frac{1}{1+z+x}=\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(c+b\right)+abc}=\frac{1}{\left(a+b+c\right)ca}\)
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1
Vậy \(P_{max}=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)