Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương pháp:
Tính thể tích V S . A B C
Tính thể tích V S . A M N theo công thức tỉ lệ thể tích
Tính thể tích V A . B C M N và suy ra kết luận
Cách giải:
Xét tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông tại A có hai cạnh góc vuông là a và 2a nên
Tam giác SAB vuông tại có đường cao AM
Khi đó 
Tương tự 
Lại có 
Mặt khác 
Do đó 
Chọn C.
Chọn D
Thể tích khối chóp S. ABC là:
Do SA=AB=AC=a nên các tam giác SAC, SAB cân tại A.
Theo đề bài M, N là hình chiếu của A trên SB, SC nên M, N lần lượt là trung điểm SB, SC.
Khi đó:
Vậy thể tích khối chóp A. BCNM là:
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BH\\BH\perp AC\left(\text{H là trực tâm ABC}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BH\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BH\perp SC\) (1)
Lại có I là trực tâm SBC \(\Rightarrow BI\perp SC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(BIH\right)\Rightarrow SC\perp IH\) (3)
Gọi M là giao điểm AH và BC \(\Rightarrow\) M là trung điểm BC (do tam giác ABC đều)
Mà SBC cân tại S (dễ dàng chứng minh SB=SC bằng Pitago) \(\Rightarrow SM\) đồng thời là đường cao trong tam giác SBC hay \(I\in SM\)
\(\Rightarrow IH\in\left(SAM\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AH\perp BC\left(\text{H là trực tâm ABC}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\Rightarrow BC\perp IH\) (4)
(3); (4) \(\Rightarrow IH\perp\left(SBC\right)\)
b.
\(AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều) \(\Rightarrow SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{2}\)
ABC đều nên H là trực tâm đồng thời là trọng tâm \(\Rightarrow\dfrac{MH}{AM}=\dfrac{1}{3}\) \(\Rightarrow MH=\dfrac{AM}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
\(\Rightarrow IM=MH.cos\widehat{AMS}=MH.\dfrac{AM}{SM}=\dfrac{a\sqrt{39}}{78}\)
\(V_{IHBC}=\dfrac{IM}{SM}.\dfrac{MH}{AM}.V_{SABC}=\dfrac{1}{117}.\dfrac{1}{3}.3a.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{468}\)