Question

[Nam Lee]

a) Cho A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ....... + 2^99 + 2^100 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3;15;31 nhưng không chia hết cho 7 và tìm số dư của A khi chia cho 7.

Answer 1

[Mysterious Person]

ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\) (có 100 con số trong phép cộng)

ta có : \(100\) chia hết cho \(2;4;5\) và không chia hết cho \(3\) ; \(100\) chia \(3\) dư 2 (*)

ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(A=\left(2^1+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\) (vì (*))

\(A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{99}\left(1+2\right)\)

\(A=2.3+2^3.3+...+2^{99}.3=3\left(2+2^3+...+2^{99}\right)⋮3\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(3\) (1)

ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(A=\left(2^1+2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) (vì (*))

\(A=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{97}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(A=2\left(1+2+4+8\right)+...+2^{97}\left(1+2+4+8\right)\)

\(A=2.15+...+2^{97}.15=15\left(2+...+2^{97}\right)⋮15\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(15\) (2)

ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(A=\left(2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{99}\right)\)(vì(*))

\(A=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(A=2\left(1+2+4+8+16\right)+...+2^{96}\left(1+2+4+8+16\right)\)

\(A=2.31+...+2^{96}.31=31\left(2+...+2^{96}\right)⋮31\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(31\) (3)

ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(A=2+2^2+\left(2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) (vì (*))

\(A=2+2^2+2^3\left(1+2+2^2\right)+...+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=2+4+2^3\left(1+2+4\right)+...+2^{98}\left(1+2+4\right)\)

\(A=6+2^3.7+...+2^{98}.7\)

\(A=6+7\left(2^3+...+2^{98}\right)\)

ta có : \(7\left(2^3+...+2^{98}\right)⋮7\) nhưng \(6\) không trùng với \(7\)

\(\Rightarrow A\) không chia hết cho \(7\) và \(6< 7\) \(\Rightarrow\) \(6\) là số dư khi \(A\) chia cho \(7\) (4)

từ (1);(2);(3)và(4) ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

chia hết cho \(3;15;31\) nhưng không chia hết cho \(7\) và số dư của \(A\) chia \(7\) là \(6\) (đpcm)