K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 9 2017

lẽ ra x,y,z>0 chứ sao lại a,b,c>0 :))

Áp dụng bđt Cô-si:\(x^2+yz\ge2\sqrt{x^2.yz}=2x\sqrt{yz}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}\)

tương tự: \(\frac{1}{y^2+xz}\le\frac{1}{2y\sqrt{xz}};\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\)

=>\(\frac{1}{x^2+yz}\)\(+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\)

Mặt khác theo bđt Cô-si thì: \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2};\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2};\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\)

=>\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)

=>​\(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\le\frac{x+y+z}{2xyz}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)

ta có đpcm.

10 tháng 9 2017

Áp dụng cauchy cho mỗi mẫu số vế trái , có :

\(VT\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{xz}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\right)\)

                                         \(=\frac{1}{2}.\left(\frac{\sqrt{yz}}{xyz}+\frac{\sqrt{xz}}{xyz}+\frac{\sqrt{zx}}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xz}}{xyz}\)

Biến đổi vế phải , có :

\(VP=\frac{1}{2}.\left(\frac{z}{xyz}+\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\)

Ta có :

\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

<=> \(2x+2y+2z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\) (đúng - Hệ quả của Cauchy, lên mạng sợt là ra )

=> \(\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\ge\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\)

=> \(VP\ge VT\)

21 tháng 7 2023

Ta có

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) (1)

Ta có

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\) (2)

Từ (1) và (2)

\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)

16 tháng 5 2020

Sửa lại cái đề hộ: a,b,c là số thực dương nha :v (Bài 4) ý

23 tháng 5 2020

Bắn giúp mình mấy câu kia vs. PLS!!!

1.a, cho a,b,c và x,y,z là các số khác 0, thỏa mãn đk a+b+c=0, x+y+z=0,\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\). chứng minh rằng: \(a^2x+b^2y+c^2z=0\) b, cho a,b,c là các hằng số và a,b,c≠-1. chứng minh rằng nếu x=by+cz, y=ax+cz, z=ax+by, x+y+z≠0 thì\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\) 2. giả sử \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\) là các số khác 0 thỏa mãn các đk: \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{b_1}{b_2}+\frac{c_1}{c_2}=0\) và...
Đọc tiếp

1.a, cho a,b,c và x,y,z là các số khác 0, thỏa mãn đk a+b+c=0, x+y+z=0,\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\). chứng minh rằng:

\(a^2x+b^2y+c^2z=0\)

b, cho a,b,c là các hằng số và a,b,c≠-1. chứng minh rằng nếu x=by+cz, y=ax+cz, z=ax+by, x+y+z≠0 thì\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)

2. giả sử \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\) là các số khác 0 thỏa mãn các đk: \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{b_1}{b_2}+\frac{c_1}{c_2}=0\)\(\frac{a_2}{a_1}+\frac{b_2}{b_1}+\frac{c_2}{c_1}=1\)

cmr \(\frac{a\frac{2}{2}}{a\frac{2}{1}}+\frac{b\frac{2}{2}}{b\frac{2}{1}}+\frac{c\frac{2}{2}}{c\frac{2}{1}}=1\)

3. a, biết x,y,z khác 0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\). tính gt bt

M=\(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)

b, biết x,y,z khác 0 và x+y+z=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\). cmr

y(\(x^2-yz\))\(\left(1-xz\right)=x\left(1-yz\right)\left(y^2-xz\right)\)

4. cho x,y,z khác 0 và \(\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2xz}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}=1\)

chứng minh rằng trong 3 phân thức đã cho có 1 phân thức bằng -1 và hai phân thức còn lại đều bằng 1

5
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020

Bài 1:

a) Từ đkđb:

$x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z; y+z=-x; z+x=-y$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\Rightarrow xbc+yac+zab=0$

$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)\Rightarrow a^2=(b+c)^2$

$\Rightarrow a^2x=(b+c)^2x$.

Tương tự: $b^2y=(a+c)^2y; c^2z=(a+b)^2z$

Do đó:

$a^2x+b^2y+c^2z=(b+c)^2x+(a+c)^2y+(a+b)^2z=a^2(y+z)+b^2(z+x)+c^2(x+y)+2(xbc+yac+zab)$

$=a^2(-x)+b^2(-y)+c^2(-z)+2.0=-(a^2x+b^2y+c^2z)$

$\Rightarrow 2(a^2x+b^2y+c^2z=0$

$\Rightarrow a^2x+b^2y+c^2z=0$ (đpcm)

b)

\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}=ax+by+cz\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax=\frac{x+y+z}{2}-x=\frac{y+z-x}{2}\\ by=\frac{x+y+z}{2}-y=\frac{x+z-y}{2}\\ cz=\frac{x+y+z}{2}-z=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z-x}{2x}\\ b=\frac{x+z-y}{2y}\\ c=\frac{x+y-z}{2z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+1=\frac{y+z+x}{2x}\\ b+1=\frac{x+z+y}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\) (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020

Bài 2:
Đặt $\frac{a_2}{a_1}=x; \frac{b_2}{b_1}=y; \frac{c_2}{c_1}=z$

Khi đó bài toán trở thành: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

CMR: $x^2+y^2+z^2=1$

-----------------------------------

Thật vậy:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+yz+xz=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

Khi đó: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=1^2-2.0=1$ (đpcm)

Vậy........

2 tháng 9 2017

a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)

b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)

=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)

21 tháng 5 2016

Đặt \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}=k\)

\(\Rightarrow a=\frac{x^2-yz}{k}\)\(b=\frac{y^2-xz}{k}\)\(c=\frac{z^2-xy}{k}\)

\(\Rightarrow a^2-bc=\frac{\left(x^2-yz\right)^2-\left(y^2-xz\right).\left(z^2-xy\right)}{k^2}\)

\(=\frac{x^4+y^2z^2-2x^2yz-\left(y^2z^2-xy^3-xz^3+x^2yz\right)}{k^2}\)

\(=\frac{x^4+xy^3+xz^3-3x^2yz}{k^2}=\frac{x\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{k^2}\)\(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{x}=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{k^2}\)

Tương tự ta cũng có : \(\frac{b^2-ac}{y}=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{k^2}\)\(\frac{c^2-ab}{z}=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{k^2}\)

Vậy : \(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ac}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\)(đpcm)

15 tháng 5 2020

Bài 3 thì \(\le1\)

Bài 4 thì \(\ge\frac{3}{4}\) nhé

24 tháng 3 2020

Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\Rightarrow x+y+z=xyz\)

Do:\(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

Tương tự: \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\);

\(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}\)

\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(1+x^2\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{zx\left(1+y^2\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(1+z^2\right)}}\)

\(A=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Ta có \(\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\);

\(\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\);

\(\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)

\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{y+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(A\le\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

24 tháng 3 2020

M giải thích cho t chỗ sao mà \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\) đc vậy?

Với cả từ dòng này xuống dòng này nữa.

Violympic toán 8

Sao mà tin đc dấu " = " xảy ra khi nào vậy?

Violympic toán 8