Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
min(!;1;1)
max (0;0;3)
Do vai trò của a, b, c là bình đẳng nên ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)
*Tìm Min:
Cách 1:
Theo nguyên lí Dirichlet trong 3 số a -1; b-1; c-1 tồn tại ít nhất 2 số mà tích chúng không âm. Giả sử\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow abc\ge ca+bc-c\)
Từ đó \(P\ge a^2+b^2+c^2+ca+bc-c=a^2+b^2+c\left(a+b+c-1\right)\)
\(=\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+2c-2\ge2\left(a+b+c\right)-2=4\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
*Tìm max:
\(P\le a^2+b^2+c^2+6abc\)
Ta sẽ chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+6abc\le9=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+18abc\le\left(a+b+c\right)^3\)
\(VP-VP=2\left[a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\right]\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị.
\(S=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt{b-6}}{b}+\frac{\sqrt{c-12}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(a-2\right)}}{\sqrt{2}a}+\frac{\sqrt{6\left(b-6\right)}}{\sqrt{6}b}+\frac{\sqrt{12\left(c-12\right)}}{\sqrt{12}c}\)
\(\le\frac{\frac{2+a-2}{2}}{\sqrt{2}a}+\frac{\frac{6+b-6}{2}}{\sqrt{6}b}+\frac{\frac{12+c-12}{2}}{\sqrt{12}c}=\frac{a}{2\sqrt{2}a}+\frac{b}{2\sqrt{6}b}+\frac{c}{2\sqrt{12c}}\)(AM-GM)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{6}}+\frac{1}{2\sqrt{12}}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=4;b=12;c=24\)
\(1=a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(\Rightarrow2P=2a^2+2b^2+2c^2=\frac{2}{a+b+c}+2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow3P=3a^2+3b^2+3c^2=\frac{2}{a+b+c}+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(=\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+\left(a+b+c\right)^2\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}}=3\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị.
Bạn nào biết trả lời giúp mình /...Cảm ơn nhìu
3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2
<=> 3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2ac-2bc>=0
<=>2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)>=0
<=> (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luon dung)
vay suy ra dpcm