Question

[Phạm Thành Du]

1=

 $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmLuyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số nghịch biếnđồng biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số nghịch biếnđồng biến.

Kiểm tra

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};\pi \right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$Kiểm tra

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số nghịch biếnđồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.