Question

[Hatake Kakashi]

cho u,v là các số dương và u+v= 1 . cmr : 

(u + 1/u)^2 + ( v + 1/v ) ^2 > hoặc = 25/2

Answer 1

[Thắng Hoàng]

1) Xét 1/k^2 = 1/(k.k) < 1/[k(k - 1)] = 1/(k - 1) - 1/k 
Do đó : 
1/2^2 < 1/1 - 1/2 
1/3^2 < 1/2 - 1/3 
... 
1/n^2 < 1//(n - 1) - 1/n 

Suy ra : 
1+ (1/2^2+1/3^2+...+1/n^2) < 1 + (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + .. + [1/(n - 1) - 1/n] = 2 - 1/n < 2 (đpcm) 

2) Đặt A = (u+1/u)^2 + (v+1/v)^2 
Áp dụng BĐT 2(a^2 + b^2) >= (a + b)^2 (dễ cm BĐT này) 
Ta có : 2A = 2[(u+1/u)^2 + (v+1/v)^2] >= (u + 1/u + v + 1/v)^2 = (1 + 1/u + 1/v)^2 (vì u + v = 1) (1) 
Nhận xét rằng ta có (u + v)(1/u + 1/v) >= 4 (cũng dễ cm được BĐT này) 
=> 1/u + 1/v >= 4 (do u + v = 1) 
=> (1 + 1/u + 1/v)^2 >= (1 + 4)^2 = 25 (2) 
Từ (1)(2) ta có 2A >= 25 hay A >= 25/2 (đpcm) 
Đẳng thức xảy ra khi u = v = 1/2

Answer 2

[Phan Nghĩa]

Sử dụng BĐT Svacxo ta được :

\(LHS\ge\frac{\left(u+\frac{1}{u}+v+\frac{1}{v}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\right)^2}{2}\)

Lại tiếp tục sử dụng BĐT Svacxo ta được :

\(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1^2}{u}+\frac{1^2}{v}=\frac{\left(1+1\right)^2}{u+v}=\frac{4}{u+v}=4\)

Khi đó \(\frac{\left(1+\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(u=v=\frac{1}{2}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh