Cho 3 số thoả mãn \(\frac{a}{7}\)= \(\frac{b}{8}\)=\(\frac{c}{9}\)
CMR: 4(a-b)(b-c)=(c-a)\(^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 10 2018
Đặt: \(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)
Ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a-\frac{ab^2-1}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2-1}{2b}=a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}+\frac{1}{2c},\frac{c+1}{a^2+1}\ge c-\frac{ca}{2}+\frac{1}{2a}\)
\(\Rightarrow P\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\right)\)
\(=3-\frac{9}{6}+\frac{1}{2}.\frac{9}{3}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
T
12 tháng 9 2018
Xét vế trái \(\frac{2.a^2}{a+b^2}+\frac{2.b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}=\frac{2a^4}{a^3+a^2.b^2}+\frac{2.b^4}{b^3+c^2.b^2}+\frac{2c^4}{c^3+a^2.c^2}\)
\(\ge2.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2}\)( Bất đẳng thức Svac-xơ )
Ta có \(a^4+a^2\ge2.a^3\Rightarrow a^3\le\frac{a^4+a^2}{2}\)
Tương tự \(b^3\le\frac{b^4+b^2}{2}\)
\(c^3\le\frac{c^4+c^2}{2}\)
Do đó \(2.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2}\ge\frac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{a^4+a^2}{2}+\frac{b^4+b^2}{2}+\frac{c^4+c^2}{2}+a^2.b^2+b^2.c^2+a^2.c^2}\)
\(=\frac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{a^4+b^4+c^4+2a^2c^2+2b^2c^2+2a^2b^2+a^2+b^2+c^2}{2}}\)
\(=\frac{4.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{4.3^2}{3^2+3}=3=a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\)
Vậy \(\frac{2.a^2}{a+b^2}+\frac{2.b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)với \(a^2+b^2+c^2=3\)
PN
7 tháng 10 2020
Ta có phép biến đổi sau : \(\frac{a^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{\sqrt{ab^2}}{2}=a-\frac{\sqrt{a.b.b}}{2}\ge a-\frac{ab+b}{4}\)
Bằng cách chứng minh tương tự : \(\frac{b^2}{b+c^2}\ge b-\frac{bc+c}{4}\); \(\frac{c^2}{c+a^2}\ge c-\frac{ca+a}{4}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều : \(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\)
\(< =>\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge2\left(a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\right)\)
Đến đây ta cần chỉ ra được : \(2\left(a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\right)\ge a+b+c\)(*)
Mặt khác : \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\left(a+b+c\right)\)
\(< =>ab+bc+ca\le a+b+c\)
Khi đó ta suy ra được : \(2\left(a+b+c-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\right)\ge2\left(a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\right)\)
\(=2\left(a+b+c-\frac{a+b+c}{2}\right)=2\left(\frac{2a+2b+2c-a-b-c}{2}\right)=2.\frac{a+b+c}{2}=a+b+c\)
Vậy bài toán đã được hoàn tất phép chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
17 tháng 9 2017
ta có:
\(c+ab=c.1+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=ca+cb+c^2+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
tương tự như vậy thì \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}};\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}};\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
KN
21 tháng 8 2020
Chú ý đến giả thiết a + b + c = 1 ta viết được \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1-c\right)\left(1+c\right)}}=\)\(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{1-c^2}}=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-c^2}}\)\(=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge2ab+2\left(ab+bc+ca\right)=\)\(2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)\)và \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Từ đó dẫn đến \(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}\sqrt{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)\(=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)
Mà theo bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\le\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)}+\frac{ab}{2\left(ab+ca\right)}\right)}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{ab}{ab+bc}+\frac{ab}{ab+ca}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)
Từ đó ta có bất đẳng thức: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+a\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}\)(2) ; \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)(3)
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)\(\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\)
Ta cần chứng minh\(\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\le\frac{3\sqrt{2}}{8}\)
Hay \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\le3\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)
\(\le\sqrt{3\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}\right)}=3\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
21 tháng 8 2020
Sửa đề: \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)
Đặt \(\frac{a}{7}=\frac{b}{8}=\frac{c}{9}=k\Rightarrow a=7k,b=8k,c=9k\)
Ta có: 4(a-b)(b-c) = 4(7k - 8k)(8k - 9k) = 4.(-k).(-k) = 4k2 (1)
(c-a)2 = (9k-7k)2 = (2k)2 = 4k2 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm