cho a,b,c là các số thực dương .CMR\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 3 2018
Bài này sử dụng Cô-si ngược dấu:
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a.\left(a^2+ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)
có: \(\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\le\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab+ab}=\frac{a+b}{3}\)
=> \(-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge-\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab+ab}=-\frac{a+b}{3}\)
=> \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{a+b}{3}\)
Chứng minh tương tự:
=> \(A\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{a+b+c}{3}\)
20 tháng 8 2018
Cho a,b, c là các số thực dương. CMR:
a3a2+ab+b2 +b3b2+bc+c2 +c3c2+ac+a2 ≥a+b+c3
30 tháng 9 2019
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta cần chứng minh :
\(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) luôn đúng
Chúc bạn học tốt !!!
T
30 tháng 9 2019
hoang viet nhat copy nhớ ghi nguồn nha bạn:))Link
Mà quan trọng là copy mà bạn có hiểu không là chuyện khác:) Bạn hãy giải thích tại sao:
\(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
1 tháng 1 2018
Ta có : \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}=\frac{3}{b+c}+\frac{3}{c+a}+\frac{3}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Ta cầm chứng minh : \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{a+b}+\frac{3}{a+c}+\frac{3}{b+c}\ge\frac{9}{2}\left(1\right)\\\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có bđt (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge9\)
Áp dụng bđt AM GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\\\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\end{cases}}\)
Nhân vế với vế ta được đpcm ; Vậy bđt (1) đc chứng minh
Ta có \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy bđt (2) đc chứng minh
Do 2 bất đẳng thức dước chứng minh
\(\Rightarrow\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{a+c}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6\) (ĐPCM)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
1 tháng 5 2020
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
nguồn : loga
KN
3 tháng 6 2020
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: \(\Sigma\frac{2}{a^2+b^2+2}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow3-\Sigma\frac{2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\frac{2}{a^2+b^2+2}\right)\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}\)(*)
Xét vế trái của (*), ta có: \(\Sigma\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{\left(\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)(Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức)
Đến đây, ta cần chỉ ra rằng \(\frac{\left(\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+\Sigma\text{}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\text{}\text{}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)+9\)\(\Leftrightarrow\text{}\text{}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\)(**)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 bộ số \(\left(a;b\right)\)và \(\left(c;b\right)\), ta có:\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+b^2\right)\ge\left(ac+b^2\right)^2\) \(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge ac+b^2\)(1)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}\ge ab+c^2\)(2); \(\sqrt{\left(c^2+a^2\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge bc+a^2\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\text{}\text{}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\)
\(=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\)(Do đó (**) đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
TA
13 tháng 6 2020
Bạn có thể làm cho mik bằng cách hệ số bất định được ko?Cảm ơn bạn rất nhiều
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 6 2020
Lời giải:
\(\text{VT}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{ca^2}{a^2+c^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2}\right)(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2}\leq \frac{ab^2}{2ab}+\frac{bc^2}{2bc}+\frac{ca^2}{2ac}=\frac{a+b+c}{2}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
12 tháng 7 2017
mũ 2 và mũ 3 nha bạn. cả 2 cái cách làm tương tự nhau.nếu bạn ko làm đc mũ 3, bn có thể làm mũ 2 chi mình xem đc ko
WR
23 tháng 8 2017
\(\frac{ab}{a^2+b^2}\le\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)
tương tự \(\frac{\Rightarrow ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2}\le\frac{3}{2}\)
=>Thắng Nguyễn :cm theo cách đó sai
TN
10 tháng 9 2017
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
giúp mình cái nhé
a=34;