Cho x.t = y.z . chứng minh :\(\frac{x}{3x+y}\frac{z}{3z+t}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
6 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\) ta có:
\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)
\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)
\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(16\left(\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\right)\)
\(\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)=4\cdot12=48\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\le3\)
1 tháng 2 2018
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\)ta có :
\(\frac{16}{3x+3y+2z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)
\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)
\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)
Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được :
\(16.\left(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\)
\(\le4.\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=4.6=24\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\)
TN
1 tháng 2 2018
Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
TN
11 tháng 2 2017
\(BDT\Leftrightarrow\left(\frac{1}{3}-\frac{y}{x+3y}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{z}{y+3z}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{x}{z+3x}\right)\ge\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{3\left(x+3y\right)}+\frac{y}{3\left(y+3z\right)}+\frac{z}{3\left(z+3x\right)}\ge\frac{1}{4}\left(1\right)\)
Cần cm (1) đúng. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT_{\left(1\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3xz\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left[\left(x+y+z\right)^2+xy+yz+xz\right]}\)\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left[\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\frac{1}{4}\)
Suy ra (1) đúng BĐT đầu dc cm
20 tháng 9 2017
đặt \(NTCT=\frac{y}{x+3y}+\frac{z}{y+3z}+\frac{x}{z+3x}\)
\(\Rightarrow3NTCT=\frac{3y}{x+3y}+\frac{3z}{y+3z}+\frac{3x}{z+3x}\)
\(=3-\left(\frac{x}{x+3y}+\frac{y}{y+3z}+\frac{z}{z+3x}\right)=3-\left(\frac{x^2}{x^2+3xy}+\frac{y^2}{y^2+3yz}+\frac{z^2}{z^2+3zx}\right)\)
lại có:
\(\frac{x^2}{x^2+3xy}+\frac{y^2}{y^2+3yz}+\frac{z^2}{z^2+3zx}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow3NTCT\le3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\Rightarrow NTCT\le\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi x=y=z
PN
20 tháng 9 2017
Vũ Thu Mai bn tham khảo nhé. Tham khảo thôi nha:
áp dụng cosi 3 số ko âm:
1.1.³√(x+3y) ≤ (1+1+x+3y)\3
1.1 ³√(y+3z) ≤ (1+1+y+3z)\3
1.1.³√(z+3x) ≤ (1+1+z+3x)\3
cộng vế vế ta đc
=> ³√(x+3y) + ³√(y+3z) + ³√(z+3x) ≤ (6+4(x+y+z))\3
=> ³√(x+3y) + ³√(y+3z) + ³√(z+3x) ≤ (6+3)\3 = 3
dấu = xảy ra khi:
1 = ³√(x+3y) = ³√(y+3z) = ³√(z+3x)
=> x=y=z=1/4
ML
14 tháng 11 2015
Áp dụng \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{x+z+y+z}\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
16 tháng 3 2018
Đề bài thiếu điều kiện rồi :")))
thêm điều kiện đi rồi giải cho
NT
0