K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
24 tháng 8 2019
Ta có 12 ≥ ( a + b ) 3 + 4 a b ≥ 2 a b 3 + 4 a b . Đặt t = a b , t > 0 thì
12 ≥ 8 t 3 + 4 t 2 ⇔ 2 t 3 + t 2 − 3 ≤ 0 ⇔ ( t − 1 ) ( 2 t 2 + 3 t + 3 ) ≤ 0
Do 2 t 2 + 3 t + 3 > 0 , ∀ t nên t − 1 ≤ 0 ⇔ t ≤ 1 . Vậy 0 < a b ≤ 1
Chứng minh được 1 1 + a + 1 1 + b ≤ 2 1 + a b , ∀ a , b > 0 thỏa mãn a b ≤ 1
Thật vậy, BĐT 1 1 + a − 1 1 + a b + 1 1 + b − 1 1 + a b ≤ 0
a b − a ( 1 + a ) ( 1 + a b ) + a b − b ( 1 + b ) ( 1 + a b ) ≤ 0 ⇔ b − a 1 + a b a 1 + a − b 1 + b ⇔ ( b − a ) 2 ( a b − 1 ) ( 1 + a b ) ( 1 + a ) ( 1 + b ) ≤ 0
Do 0 < a b ≤ 1 nên BĐT này đúng
Tiếp theo ta sẽ CM 2 1 + a b + 2015 a b ≤ 2016 , ∀ a , b > 0 thỏa mãn a b ≤ 1
Đặt t = a b , 0 < t ≤ t ta được 2 1 + t + 2015 t 2 ≤ 2016
2015 t 3 + 2015 t 2 − 2016 t − 2014 ≤ 0 ⇔ ( t − 1 ) ( 2015 t 2 + 4030 t + 2014 ) ≤ 0
BĐT này đúng ∀ t : 0 < t ≤ 1
Vậy 1 1 + a + 1 1 + b + 2015 a b ≤ 2016. Đẳng thức xảy ra a = b = 1
CM
1 tháng 4 2018
a) Ta có : (-2).3 = -6.
Vì -6 < -4,5 nên suy ra (-2).3 < -4,5.
b) + Ta có : (-2).3 < -4,5
⇒ (-2).3.10 < -4,5.10 (Nhân cả hai vế với 10 > 0, BĐT không đổi chiều).
hay (-2).30 < -45.
+ (-2).3 < -4,5
⇒ (-2).3 + 4,5 < -4,5 + 4,5 (Cộng cả hai vế với 4,5).
Hay (-2).3 + 4,5 < 0.
15 tháng 11 2023
a: ĐKXĐ: x-10>=0
=>x>=10
b: \(\sqrt{9a^2b}=\sqrt{\left(3a\right)^2\cdot b}=3a\cdot\sqrt{b}\)
c: \(\left(2\sqrt{3}+1\right)^2=13+4\sqrt{3}\)
\(\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^2=8+5+2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}=13+4\sqrt{10}\)
mà \(4\sqrt{3}< 4\sqrt{10}\left(3< 10\right)\)
nên \(\left(2\sqrt{3}+1\right)^2< \left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^2\)
=>\(2\sqrt{3}+1< 2\sqrt{2}+\sqrt{5}\)
7 tháng 6 2021
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
CM
10 tháng 6 2018
Quy tắc chuyển vế trong bất đẳng thức: khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của bất đẳng thức ta phải đổi dấu các số hạng đó, dấu “+” đổi thành dấu “-“ và ngược lại.
a: 2a+3>2b+3
=>2a>2b
=>a>b
b: -3a-1>=-3b-1
=>\(-3a>=-3b\)
=>3a<=3b
=>a<=b
c: 5-2a<5-a-b
=>5-2a+a<5-b
=>5-a<5-b
=>a-5>b-5
=>a>b