Cho \(a,b\ge0\). Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 7 2020
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự:
\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\le\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Tuy nhiên đẳng thức ko xảy ra :p
28 tháng 7 2020
a) \(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left[\left(a+\frac{1}{4}\right)+\left(b+\frac{1}{4}\right)\right]\)\(\ge\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
MK
13 tháng 6 2017
PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 }
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình làm ra rùi chụp cho (:
TN
1 tháng 4 2017
Bài 1:
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3}{a+2b}}+\sqrt{\frac{3}{b+2c}}+\sqrt{\frac{3}{c+2a}}\le\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2b}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a+2b\right)}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{b+2c}};\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{c+2a}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge3\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài 2: làm mãi ko ra hình như đề sai, thử a=1/2;b=4;c=1/2
1 tháng 4 2017
Bài 2/
\(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)
\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b}+\frac{c^2a^2}{b^2c^2a+b^2a^2c}+\frac{a^2b^2}{c^2a^2b+c^2b^2a}\)
\(=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ca+cb}\)
\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
N
18 tháng 3 2019
ĐK: \(a,b\ge0,a\ne b\)
\(A=\left(\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{ab}\right).\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(A=\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{ab}\right).\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(A=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right).\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=1=VP\)
Vậy đẳng thức được cm.
28 tháng 7 2017
a) bđt cosi
b) \(\left(\sqrt{a+b}\right)=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)
=> đpcm
c) xét hiệu \(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)
d)https://olm.vn/hoi-dap/question/1003405.html
nè ngại làm
PV
1
TN
24 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT căn trung bình bình phương ta có:
*BĐT này mk ko biết rõ tên nó viết cả ra :v, dạng tổng quát nó đây (kiểu AM-GM ấy)*
với a1;a2;...an ko âm thì \(\sqrt{\frac{a_1^2+b_1^2+....+a_n^2}{n}}\ge\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\)
\(VT=\sqrt{\frac{a+b}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}}{2}}\)
\(\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
5 tháng 11 2017
a) 9x2 - 36
=(3x)2-62
=(3x-6)(3x+6)
=4(x-3)(x+3)
b) 2x3y-4x2y2+2xy3
=2xy(x2-2xy+y2)
=2xy(x-y)2
c) ab - b2-a+b
=ab-a-b2+b
=(ab-a)-(b2-b)
=a(b-1)-b(b-1)
=(b-1)(a-b)
P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình