Cho ABC ∆ nhọn ( ) AB AC < nội tiếp đường tròn ( ) O , các đường cao BM, CN cắt nhau tại H. Hai đường thẳng MN và BC cắt nhau tại I, AI cắt đường tròn ( ) O tại D. a) Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp. b) Chứng minh . . INIM IBIC = và IDN ∆ đồng dạng IMA ∆ . c) Đường thẳng DH cắt MN và đường tròn ( ) O lần lượt tại T và K (K khác D). Gọi P là giao điểm của AT và IK. Chứng minh P thuộc đường tròn ( ) O...
Đọc tiếp
Cho ABC ∆ nhọn ( ) AB AC < nội tiếp đường tròn ( ) O , các đường cao BM, CN cắt nhau tại H. Hai đường thẳng MN và BC cắt nhau tại I, AI cắt đường tròn ( ) O tại D. a) Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp. b) Chứng minh . . INIM IBIC = và IDN ∆ đồng dạng IMA ∆ . c) Đường thẳng DH cắt MN và đường tròn ( ) O lần lượt tại T và K (K khác D). Gọi P là giao điểm của AT và IK. Chứng minh P thuộc đường tròn ( ) O .
a: Xét tứ giác BNMC có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)
nên BNMC là tứ giác nội tiếp
b: Ta có: BNMC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BCM}+\widehat{BNM}=180^0\)
mà \(\widehat{BNM}+\widehat{INB}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{INB}=\widehat{ICM}\)
Ta có: A,D,B,C cùng thuộc (O)
=>ADBC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{ADB}+\widehat{ACB}=180^0\)
mà \(\widehat{ADB}+\widehat{IDB}=180^0\)
nên \(\widehat{IDB}=\widehat{ACB}\)
Xét ΔINB và ΔICM có
\(\widehat{INB}=\widehat{ICM}\)
\(\widehat{NIB}\) chung
Do đó: ΔINB~ΔICM
=>\(\dfrac{IN}{IC}=\dfrac{IB}{IM}\)
=>\(IN\cdot IM=IB\cdot IC\left(1\right)\)
Xét ΔIDB và ΔICA có
\(\widehat{IDB}=\widehat{ICA}\)
\(\widehat{DIB}\) chung
Do đó: ΔIDB~ΔICA
=>\(\dfrac{ID}{IC}=\dfrac{IB}{IA}\)
=>\(IB\cdot IC=IA\cdot ID\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(ID\cdot IA=IN\cdot IM\)
=>\(\dfrac{ID}{IM}=\dfrac{IN}{IA}\)
Xét ΔIDN và ΔIMA có
\(\dfrac{ID}{IM}=\dfrac{IN}{IA}\)
\(\widehat{DIN}\) chung
Do đó: ΔIDN~ΔIMA