Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BEDC nội tiếp.
b) DE song song với MN.
c) OA vuông góc với DE.
d) Khi BC và (O) cố định. Chứng minh rằng khi A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giac ABC là tam giác nhọn thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giac ADE không đổi.
a: Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
nên BEDC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\widehat{CNM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
Do đó: \(\widehat{CNM}=\widehat{CBM}\)
mà \(\widehat{CBM}=\widehat{CED}\)(BEDC nội tiếp)
nên \(\widehat{HED}=\widehat{HNM}\)
=>ED//MN
c: Kẻ Ax là tiếp tuyến của (O) tại A
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\left(=180^0-\widehat{EDC}\right)\)
nên \(\widehat{xAC}=\widehat{ADE}\)
=>Ax//DE
=>OA\(\perp\)DE