Question

[Lê Thành Nhật]

Cho tam giác ABC cân tại Acos BM và CN là các đường trung tuyến

a)C/m tam giác BCN=tam giác CBM

b)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BM tại E.C/m tam giác GEC cân

c)Từ G kẻ đường thẳng song song với BC cắt CA và CE lần lượt tại O và D.C/m O là trọng tâm của tam giác GEC và 2BM>BC+MN

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: \(AN=NB=\dfrac{AB}{2}\)

\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AN=NB=AM=MC

Xét ΔNBC và ΔMCB có

NB=MC

\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

BC chung

Do đó: ΔNBC=ΔMCB

b: Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: BM cắt CN tại G

=>\(GB=\dfrac{2}{3}MB;GC=\dfrac{2}{3}CN\)

mà MB=CN

nên GB=GC

=>\(\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\)

Ta có: \(\widehat{GBC}+\widehat{GEC}=90^0\)(ΔECB vuông tại C)

\(\widehat{GCB}+\widehat{GCE}=90^0\)

mà \(\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\)

nên \(\widehat{GEC}=\widehat{GCE}\)

=>ΔGEC cân tại G

c: ta có: BG=2/3BM

=>BG=2GM

mà BG=GE(=GC)

nên GE=2GM

=>M là trung điểm của GE

Xét ΔEBC có

G là trung điểm của EB

GD//BC

Do đó: D là trung điểm của EC

Xét ΔEGC có

GD,CM là các đường trung tuyến

GD cắt CM tại O

Do đó: O là trọng tâm của ΔEGC