Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho xy tạo với AB góc BAx = 45 độ( Góc BAx nằm ngoài tam giác ABC). Từ B và C hạ BK vuông góc với xy, CI vuông góc với xy, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
a) MI và MK lần lượt là trung trực của AC và AB
b) Góc IMK...
Đọc tiếp
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho xy tạo với AB góc BAx = 45 độ( Góc BAx nằm ngoài tam giác ABC). Từ B và C hạ BK vuông góc với xy, CI vuông góc với xy, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
a) MI và MK lần lượt là trung trực của AC và AB
b) Góc IMK vuông
a: Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MB=MC=CB/2
\(\widehat{KAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAI}=180^0\)
=>\(\widehat{CAI}+90^0+45^0=180^0\)
=>\(\widehat{CAI}=45^0\)
Xét ΔKBA vuông tại K có \(\widehat{KAB}=45^0\)
nên ΔKAB vuông cân tại K
=>KA=KB
Xét ΔIAC vuông tại I có \(\widehat{IAC}=45^0\)
nên ΔIAC vuông cân tại I
=>IA=IC
Ta có: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: KA=KB
=>K nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MK là đường trung trực của AB
Ta có: MA=MC
=>M nằm trên đường trung trực của AC(3)
ta có: IA=IC
=>I nằm trên đường trung trực của AC(4)
Từ (3),(4) suy ra MI là đường trung trực của AC
b: Gọi H là giao điểm của MK với AB, F là giao điểm của MI với AC
MK là đường trung trực của AB
mà H là giao của MK với AB nên MK\(\perp\)AB tại H
MI là đường trung trực của AC
mà F là giao của MI với AC nên MI\(\perp\)AC tại F
Xét tứ giác AHMF có
\(\widehat{AHM}=\widehat{AFM}=\widehat{HAF}=90^0\)
nên AHMF là hình chữ nhật
=>\(\widehat{FMH}=90^0\)
=>\(\widehat{IMK}=90^0\)