Question

[Phạm Duy Khoa]

Cho đường tròn tâm O dây cung AB điểm M di chuyển trên cung lớn AB các đường cao AE, BF của đường tam giác ABM cắt nhau tại H. Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB theo thứ tự của C, D.

a) chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định

b) chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD cũng đi qua một điểm cố định

MN GIÚP MIK VỚI Ạ

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Kẻ tiếp tuyến Mx của (O). Khi đó \(Mx\perp MO\).

Ta thấy \(\widehat{xMA}=\widehat{MBA}=\widehat{MFE}\) nên Mx // EF. Do đó \(EF\perp MO\)

Mặt khác, tam giác HAC cân tại H có đường cao HF nên F là trung điểm MC. Tương tự, E là trung điểm MD. Vì vậy, EF là đường trung bình của tam giác MCD \(\Rightarrow\) EF//CD. 

 Do đó, \(MO\perp CD\) \(\Rightarrow\) đt qua M vuông góc với CD đi qua O cố định.

 b) Gọi O' là điểm đối xứng của O qua AB. Kẻ đường kính MK của (O), gọi P là trung điểm AB. Lúc này O' là điểm cố định.

 Khi đó AH//BK (cùng vuông góc với MB) và BH//AK (cùng vuông góc với MA) nên tứ giác AHBK là hình bình hành

 \(\Rightarrow\) Trung điểm P của AB cũng là trung điểm của HK. 

 \(\Rightarrow\) OP là đường trung bình của tam giác KMH 

 \(\Rightarrow\) OP//MH và \(OP=\dfrac{1}{2}MH\)

 \(\Rightarrow\) OO'//MH và \(OO'=MH\)

 \(\Rightarrow\) Tứ giác MOO'H là hình bình hành 

 \(\Rightarrow\) HO' // MO

 Mà \(MO\perp CD\) (cmt) nên \(HO'\perp CD\)

 Như vậy đường thẳng qua H và vuông góc với CD đi qua O' cố định.