Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm sao cho OA = 3R qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn O, B, C là hai tiếp điểm lấy điểm M thuộc đường tròn O sao cho BM // AC Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM với đường tròn O, K là giao điểm của hai đường thẳng BN và AC
a, Chứng minh 4 điểm A, B, O, C thuộc cùng một đường tròn
b, KA^2 = KB × KN
c, Tính độ dài đường thẳng AK theo R
d,...
Đọc tiếp
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm sao cho OA = 3R qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn O, B, C là hai tiếp điểm lấy điểm M thuộc đường tròn O sao cho BM // AC Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM với đường tròn O, K là giao điểm của hai đường thẳng BN và AC
a, Chứng minh 4 điểm A, B, O, C thuộc cùng một đường tròn
b, KA^2 = KB × KN
c, Tính độ dài đường thẳng AK theo R
d, tiếp tuyến tại N và M của đường thẳng O cắt nhau tại E Chứng minh rằng E, B, C thẳng hàng
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\widehat{NBA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BN
\(\widehat{BMN}\) là góc nội tiếp chắn cung BN
Do đó: \(\widehat{NBA}=\widehat{BMN}\)
mà \(\widehat{BMN}=\widehat{KAN}\)(hai góc so le trong, BM//AC)
nên \(\widehat{KAN}=\widehat{KBA}\)
Xét ΔKAN và ΔKBA có
\(\widehat{KAN}=\widehat{KBA}\)
\(\widehat{AKN}\) chung
Do đó: ΔKAN~ΔKBA
=>\(\dfrac{KA}{KB}=\dfrac{KN}{KA}\)
=>\(KA^2=KB\cdot KN\)(1)
c: Xét (O) có
\(\widehat{KCN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CK và dây cung CN
\(\widehat{CBN}\) là góc nội tiếp chắn cung CN
Do đó: \(\widehat{KCN}=\widehat{CBN}=\widehat{KBC}\)
Xét ΔKCN và ΔKBC có
\(\widehat{KCN}=\widehat{KBC}\)
\(\widehat{CKN}\) chung
Do đó: ΔKCN~ΔKBC
=>\(\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{KN}{KC}\)
=>\(KC^2=KB\cdot KN\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra KA=KC
=>K là trung điểm của AC
ΔOCA vuông tại C
=>\(CO^2+CA^2=OA^2\)
=>\(CA^2=\left(3R\right)^2-R^2=8R^2\)
=>\(CA=R\cdot2\sqrt{2}\)
=>\(KA=R\sqrt{2}\)
d: Gọi giao điểm của MN và OE là I, giao điểm của BC và OA là H
Xét (O) có
EM,EN là các tiếp tuyến
Do đó: EM=EN
=>E nằm trên đường trung trực của MN(3)
Ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(4)
Từ (3) và (4) suy ra OE là đường trung trực của MN
=>OE\(\perp\)MN tại I và I là trung điểm của MN
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(5)
ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(6)
Từ (5),(6) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\left(7\right)\)
Xét ΔONE vuông tại N có NI là đường cao
nên \(OI\cdot OE=ON^2\left(8\right)\)
Từ (7) và (8) suy ra \(OH\cdot OA=OI\cdot OE\)
=>\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OE}{OA}\)
Xét ΔOHE và ΔOIA có
\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OE}{OA}\)
\(\widehat{HOE}\) chung
Do đó: ΔOHE~ΔOIA
=>\(\widehat{OHE}=\widehat{OIA}=90^0\)
=>\(\widehat{OHE}=\widehat{OHB}=90^0\)
=>H,B,E thẳng hàng
mà B,H,C thẳng hàng
nên E,B,C thẳng hàng