ten ten ten1. Cho a,b,c>0 và a b c=1 CMR sigma$\frac{a-bc}{a bc}\le\frac{3}{2}$2. cho a,b,c>0 va abc=1 CMR sigma$\frac{1}{a\left(b 1\right)}\ge\frac{3}{2}$3.(i think it is difficult for you)ch a...

ND

Nguyễn Duy Long

27 tháng 8 2017 - olm

ten ten ten1. Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR sigma$\frac{a-bc}{a+bc}\le\frac{3}{2}$2. cho a,b,c>0 va abc=1 CMR sigma$\frac{1}{a\left(b+1\right)}\ge\frac{3}{2}$3.(i think it is difficult for you)ch a,b,c>0 CMR sigma$\frac{b^2c^3}{a^2+\left(b+c\right)^3}\ge\frac{9abc}{4\left(3abc+ab^2+bc^2+ca^2\right)}$4. CMR với mọi n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì \(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}<...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

L

LIVERPOOL

27 tháng 8 2017

bài 1

<=> $\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}$

sử dụng tiếp cauchy sharws

Bài 2: đặt a=x/y, b=y/x, c=z/x

Đúng(0)

BN

bach nhac lam

17 tháng 11 2019

1. $\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.$ Cmr: $\frac{x^2}{\left(x+1\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y+1\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}$\

2. $a,b,c>0.$ cmr: $\Sigma\frac{a^3}{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\le\frac{1}{a+b+c}$

#Toán lớp 9

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

17 tháng 11 2019

Câu 1: $P=\sum\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}$ đặt $\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1$

Nó chính là dòng 5 trở đi của bài 4 này, ko làm lại nữa nhé:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Câu 2:

$\frac{a^3}{\left(a^2+b^2+a^2\right)\left(a^2+a^2+c^2\right)}\le\frac{a^3}{\left(a^2+ab+ac\right)^2}=\frac{a}{\left(a+b+c\right)^2}$

Tương tự, cộng lại và rút gọn sẽ có đpcm

Đúng(0)

BN

bach nhac lam

17 tháng 11 2019

Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Phạm Lan Hương, Pumpkin Night, No choice teen, HISINOMA KINIMADO,

tth, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Chu Tuấn Minh, Lê Thị Hồng Vân, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@Akai Haruma

giúp e vs ạ! thanks trước

Đúng(0)

I

Incursion_03

10 tháng 7 2019

Cho a,b,c > 0 thỏa ab + bc + ca = 1

CMR $\Sigma\frac{1}{4a^2-bc+1}\ge\frac{3}{2}$

#Toán lớp 10

0

LT

Lê Tài Bảo Châu

27 tháng 7 2020 - olm

Bài 1:Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng :$\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}+\frac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\ge\frac{a+b+c+d}{4}$Bài 2:Cho $a>0,b>0,c>0$.$CM:\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$Bài 3: a) Cho x,y,>0. CMR:$\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}$b) Chứng minh...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

6

KN

Kiệt Nguyễn

1 tháng 8 2020

Xét $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b$

Tương tự, ta được: $\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c$; $\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a$

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: $\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)$$-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0$

$\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$$=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}$

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: $a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)$(*)

Thật vậy: (*)$\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0$*đúng*

$\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}$$\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}$

$\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS$(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

Đúng(0)

PM

Phùng Minh Quân

27 tháng 7 2020

1) ta chứng minh được $\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}$

$VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}$

bài 2 xem có ghi nhầm ko

Đúng(0)

KT

Không Tên

29 tháng 11 2018 - olm

Chờ a,b,c > 0 và ab + bc + ca = 2abc

CMR: $sigma\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}\ge\frac{1}{2}$

#Toán lớp 9

0

I

Incursion_03

27 tháng 4 2019 - olm

Cho a,b,c > 0 và abc = 1

CMR $\Sigma\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\le\frac{1}{2}$

#Toán lớp 9

2

GL

ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★

27 tháng 4 2019

https://www.google.com/search?q=cho+abc%3D1.+cm+1%2F2a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%2B2%3C1%2F2&rlz=1C1NHXL_viVN846VN846&oq=cho+abc%3D1.+cm+1%2F2a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%2B2%3C1%2F2&aqs=chrome..69i57.4867j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8

Đúng(0)

KS

kudo shinichi

29 tháng 4 2019

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

Áp dụng :

$\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}=\frac{1}{\left(a^3+b^3+1\right)+\left(a^3+c^3+1\right)}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\right)$

Tương tự: $\frac{1}{2b^3+c^3+a^3+2}=\frac{1}{\left(a^3+b^3+1\right)+\left(b^3+c^3+1\right)}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}\right)$

$\frac{1}{2c^3+b^3+a^3+2}=\frac{1}{\left(c^3+b^3+1\right)+\left(a^3+c^3+1\right)}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{c^3+b^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\right)$

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

$\Sigma\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\le\frac{1}{4}.2.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\right)$$=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\right)$

Ta chứng minh BĐT phụ:

$a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)$

Thật vậy!

Có: $\left(a-b\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2-ab\ge ab$

$\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge ab\left(a+b\right)$( vì a,b>0 => a+b>0)

$\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)$

đpcm

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

Áp dụng: $\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}$

Tương tự:$\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}=\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}$

$\frac{1}{a^3+c^3+1}\le\frac{1}{ac\left(a+c\right)+abc}=\frac{1}{ac\left(a+b+c\right)}$

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le$$\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=1$

$\Rightarrow\Sigma\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\right)\le\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}$

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1

Tham khảo nhé~

Đúng(0)

BN

bach nhac lam

19 tháng 10 2019

1. cho $0< a\le b\le c$ . Cmr: $\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$ 2. cho $a,b,c\ge0$. cmr: $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)$ 3. $a,b,c>0.$ Cmr: $\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}$ 4. $a,b,c0$. Tìm Min...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

5

T

tthnew

11 tháng 11 2019

2/ Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$.

Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: $a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.

Nếu $abc\ne0$. Chia hai vế của BĐT cho $\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}$

BĐT quy về: $\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}$

Đặt $\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1$

Cần chúng minh: $x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)$ (1)

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử $\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0$

$\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z$. Thay vào (1):

$VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1$

$=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz$

$\ge2\left(xy+yz+zx\right)$

Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.

Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(

Đúng(0)

T

tthnew

6 tháng 7 2020

Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:

Định lí SOS: Nếu $X+Y+Z=0$ thì $AX^2+BY^2+CZ^2\ge0$

khi $\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.$

Chứng minh: Vì $\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0$

Nên ta có thể giả sử $A+C\ge0$. Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$

$AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2$

$={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0$

Đúng(0)

ND

Nguyễn Duy Long

6 tháng 10 2017 - olm

BĐT nhé ae: Với các ẩn dương nhé

1. abc=1. CM $sigma\left(\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\right)\le\frac{1}{2}$

2.$a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$CM $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

#Toán lớp 9

1

L

LIVERPOOL

7 tháng 10 2017

2/ GT <=> $\left(a+b+c\right)abc\ge ab+bc+ca$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)abc}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

Sao hôm thứ 7 nghỉ

Đúng(0)

PM

Phùng Minh Quân

17 tháng 11 2019 - olm

$ab+bc+ca=1$$\Rightarrow$$\hept{\begin{cases}a+b+c\ge\sqrt{3}\\a^2+b^2+c^2\ge1\end{cases}}$$\left(a-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\ge0$$\Leftrightarrow$$a\le\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{6}$\(P=\Sigma\frac{a^2\left(1-2b\right)^2}{b\left(1-2b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c-2\right)^2}{\left(a+b+c\right)-2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{\left(a+b+c-2\right)^2}{\frac{\sqrt{3}-4}{2}\Sigma...

Đọc tiếp

#Toán lớp 1

8