Cho tam giác ABC, xác định M nằm trong tam giác sao cho AM.BC+BM.CA+CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
4 tháng 9 2020
Đặt BC=a; AC=b; AB=c
Từ M dựng các đường vuông góc với BC; AC; AB cắt lần lượt tại D;E;F
Đặt MD=x; ME=y; MF=z
\(S_{ABC}=S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}=\frac{ax+by+cz}{2}\) áp dụng bđt cosi
\(\frac{ax+by+cz}{3}\ge\sqrt[3]{ax.by.cx}\Rightarrow\frac{ax+by+cz}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{ax.by.cz}}{2}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}\ge\frac{3.\sqrt[3]{ax.by.cz}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{xyz}}{2}\Rightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\frac{2.S_{ABC}}{3.\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow xyz\le\frac{8.S^3_{ABC}}{27abc}\) xyz lơn nhất khi \(xyz=\frac{8.S^3_{ABC}}{27abc}=const\)
Dấu = xảy ra khi ax=by=cz \(\Rightarrow S_{MBC}=S_{MAC}=S_{MAB}\)
Nối AM cắt BC tại K, Từ B và C dựng đường vuông góc với AK cắt AK lần lượt tại P và Q
Xét tg MAB và tg MAC có chung đáy AM và S(MAB)=S(MAC) => hai đường cao tương ứng BP=CQ
Xét tg vuông BKP và tg vuông CKQ có
^PBK = ^QCK (góc so le trong)
BP=CQ (cmt)
=> tg BKP = tg CKQ (hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => BK=CK => AM là trung tuyến của tg ABC
C/m tương tự ta cũng có BM, CM là trung tuyến của tg ABC
=> M là trọng tâm của tg ABC
DM
0
28 tháng 3 2020
AO cắt BC tại I kẻ BE vg AI ,
CF vg AI Sabm= AO.BE/2 <= AO. BI/2
Cmtt S amc <= AM.CI/2
suy ra Sabmc <= AM.BC/2
Cmtt => Sabc<= AM.BC+BM.CA+CM.AB
dấu "=" xảy ra khi M là trực tâm
GỌi E;F thứ tự là hình chiếu của B,C trên AM và S1;S2;S3 là diện tích các tam giác AMB;AMC;BMC Ta có:
AM.BE+AM.CFAM.BE+AM.CF \leq AM.BD+AM.CDAM.BD+AM.CD Hay 2S1+2S22S1+2S2 \leq AM.(BD+CD)=AM.BC
Dấu = xảy ra khi AM vuông góc BC
tương tự có: 2S1+2S32S1+2S3 \leq BM.AC
2S2+2S32S2+2S3 \leq CM.AB
\Rightarrow AM.BC+BM.AC+CM.AB \geq 4SABC4SABC
dấu = xảy ra khi M là trực tâm tam giác ABC
D là giao điểm của AM và BC
chúc bạn học tốt
ĐÚNG 100%