K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
2 tháng 1

Từ giả thiết:

\(3x^2+x=4y^2+y\Leftrightarrow\left(3x-4y\right)^2=12x^2+12y^2-24xy+\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-4y\right)^2=12\left(x-y\right)^2+\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left[12\left(x-y\right)+1\right]\)

Hiển nhiên ta có \(12\left(x-y\right)+1\) và \(x-y\) nguyên tố cùng nhau

Mà tích của chúng là 1 SCP \(\Rightarrow\) cả 2 số đều phải là SCP

 

Hay \(x-y\) là SCP

 

25 tháng 8 2023

Xét \(P=x^2+y^2+2x\left(y-1\right)+2y+1\) 

\(P=x^2+y^2+2xy-2x+2y+1\)

+) Nếu \(y>x\) thì \(2y-2x+1>0\). Do đó \(P>\left(x+y\right)^2\). Hơn nữa:

\(P< x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\) \(=\left(x+y+1\right)^2\)

suy ra \(\left(x+y\right)^2< P< \left(x+y+1\right)^2\), vô lí vì P là SCP.

+) Nếu \(x>y\) thì \(2y-2x+1< 0\) nên \(P< \left(x+y\right)^2\)

Hơn nữa \(P>x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\) \(=\left(x+y-1\right)^2\)

Suy ra \(\left(x+y-1\right)^2< P< \left(x+y\right)^2\), vô lí vì P là SCP.

Vậy \(x=y\) (đpcm)

(Cơ mà nếu thay \(x=y\) vào P thì \(P=4x^2+1\) lại không phải là SCP đâu)

 

27 tháng 12 2016

\(3x^2+x=4y^2+y\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^2-3y^2\right)+\left(x-y\right)=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3x+3y+1\right)=y^2\)

Giả sử d là ước chung của (x - y) và (3x + 3y + 1)

Ta có ychia hết cho d2

\(\Rightarrow\)y chia hết cho d

\(\Rightarrow-3\left(x-y\right)+\left(3x+3y+1\right)-6y\)chia hết cho d

\(\Rightarrow\)1 chia hết cho d nên d = 1

\(\Rightarrow\)(x - y) và (3x + 3y + 1) nguyên tố cũng nhau

Vậy (x - y) là 1 số chính phương

29 tháng 12 2016

tao chắc chắn, chắc chắn..... là tao không biết

11 tháng 12 2022

Bài 2: 

Ta có: 2a2+2b2=(a2+2ab+b2)+(a2-2ab+b2)

                        =(a+b)2+(a-b)2 là tổng 2 số chính phương

⇒2a2+2b2 là tổng của 2 số chính phương(đpcm)

11 tháng 12 2022

Ta có: x2+y2+2xy-4x-2y+1=0

      ⇔(x2+y2+2xy-2x-2y+1)-2x=0

      ⇔(x+y-1)2=2x

Mà (x+y-1)2 là số chính phương

⇒2x là số chính phương

⇒2x chia 4 dư 0 hoặc 1

Mà 2x là số chẵn 

⇒2x chia hết cho 4

⇒x chia hết cho 2

⇒x là số chẵn(đpcm)

Lại có:(x+y-1)2=2x

\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\)=x

\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\): 2=x:2

\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\)\(\dfrac{1}{2}\) =x:2

\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{4}\)=x:2

⇒(\(\dfrac{x+y-1}{2}\))2=x:2  

Mà \(\left(\dfrac{x+y-1}{2}\right)^2\) là số chính phương

⇒x:2 là số chính phương (đpcm)

4 tháng 6 2023

Giả sử \(y\) là số lẻ

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y=m^2\\x^2+y=n^2\end{matrix}\right.\left(m,n\inℕ;m< n\right)\)

\(\Rightarrow2y=n^2-m^2\) \(\Rightarrow n^2-m^2\) chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.

 Thế nhưng, ta thấy \(n^2\) và \(m^2\) khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1, vậy nên \(n^2-m^2\) khi chia cho 4 sẽ chỉ có số dư là \(0,1,-1\), nghĩa là nếu \(n^2-m^2\) mà chia hết cho 2 thì buộc hiệu này phải chia hết cho 4, mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) đpcm.

 

4 tháng 8 2017

\(x^2+y^2+4=2xy+4x+4y\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2y+4\right)x+y^2-4y+4=0\)

Xét phương trình theo nghiệm x.

\(\Rightarrow\Delta'=\left(y+2\right)^2-\left(y^2-4y+4\right)=8y\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y+2-2\sqrt{2y}\\x=y+2+2\sqrt{2y}\end{cases}}\)

Vì x, y nguyên dương nên 

\(\Rightarrow\sqrt{2y}=a\)

\(\Rightarrow y=2n^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2n^2+2-4n\\x=2n^2+2+4n\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(n-1\right)^2\\x=2\left(n+1\right)^2\end{cases}}\)

Vậy \(\frac{y}{2};\frac{x}{2}\)là 2 số chính phương.

4 tháng 8 2017

\(x^2+y^2+4=2xy+4x+4y\)

<=> \(\left(x^2-4x+4\right)+y^2-2y\left(x-2\right)=8y\)

<=> \(\left(x-y-2\right)^2=8y\)

<=> \(\left(\frac{x-y-2}{4}\right)^2=\frac{y}{2}\)

=> \(\frac{y}{2}\)là số chính phương

CMTT x/2 là số chính phương