Cho tam giác ABC, gọi BI là trung tuyến. Trên AC lấy M, qua M kẻ đường thẳng song song với BI, cắt B lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng MP+MQ=2BI
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 10 2021
a: Xét ΔBEC có
M là trung điểm của BC
MF//BE
Do đó: F là trung điểm của CE
Suy ra: FE=CF(1)
Xét ΔAMF có
I là trung điểm của AM
IE//MF
Do đó: E là trung điểm của AF
Suy ra: AE=EF(2)
Từ (1) và (2) suy ra AE=FE=CF
10 tháng 4 2019
a) Từ O hạ OT vuông góc với MN tại T. Dễ thấy OE là trung trực AC nên OE vuông góc AC.
Mà AC // EM nên OE vuông góc EM. Từ đó ^OEM = ^OCM = ^OTM = 900, suy ra 5 điểm O,E,M,C,T cùng thuộc 1 đường tròn.
Tương tự, ta có 5 điểm O,F,B,N,T cùng thuộc 1 đường tròn. Do đó ^OTE = ^OCE = ^OAE = ^OBF = ^OTF.
Từ đó 3 điểm E,F,T thẳng hàng. Vậy thì ^OCT = ^ OEA = ^OEC = ^OTC.
Suy ra \(\Delta\)OCT cân tại O hay OT = OC. Khi đó MN tiếp xúc với (O) tại T. Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau:
BN = TN, CM = TM => BN + CM = MN (đpcm).
b) Gọi đường thẳng CR cắt (O) tại S. Ta sẽ chỉ ra S,B,Q thẳng hàng. Thật vậy:
Ta có: ^AQR + ^ACM = 1800 => ^AQR = 1800 - ^ACM = ^ABC = 1800 - ^ASR => Tứ giác ASRQ nội tiếp
=> ^RSQ = ^RAQ = 1800 - ^AQR - ^ARQ = 1800 - ^ABC - ^ACB = ^BAC = ^CSB.
Từ đó 3 điểm S,B,Q thẳng hàng (Vì SB trùng SQ). Vậy BQ và CR cắt nhau trên đường tròn (O) (đpcm).
11 tháng 12 2021
c: Xét tứ giác ABMH có
I là trung điểm của AM
I là trung điểm của BH
Do đó: ABMH là hình bình hành
Suy ra: AH//BC
26 tháng 9 2021
Bài 2:
b: Xét ΔABC có
M là trung điểm của AC
N là trung điểm của AB
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔGBC có
K là trung điểm của GB
I là trung điểm của GC
Do đó: KI là đường trung bình của ΔGBC
Suy ra: KI//BC và \(KI=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra NM//KI và NM=KI
Xét tứ giác NMIK có
NM//KI
NM=KI
Do đó: NMIK là hình bình hành
30 tháng 12 2021
Anh không vẽ hình vì sợ duyệt. Với lại anh sẽ chia bài này thành 4 câu trả lời cho 4 câu a,b,c,d để rút ngắn lại. Dài quá cũng sợ duyệt.
a) \(\Delta ABC\)vuông tại A (gt) \(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(tình chất tam giác vuông)\(\Rightarrow\widehat{C}=90^0-\widehat{B}\)
Vì \(\widehat{B}=60^0\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{C}=90^0-60^0=30^0\)
30 tháng 12 2021
b) Vì H là trung điểm của AK (gt) \(\Rightarrow HA=HK\)và H nằm giữa A và K
Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta KBH\), ta có:
\(AB=BK\left(gt\right);HA=HK\left(cmt\right);\)BH là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta KBH\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{KHB}\)(2 góc tương ứng)
Mặt khác vì H nằm giữa A và K (cmt) \(\Rightarrow\widehat{AHB}+\widehat{KHB}=180^0\)\(\Rightarrow2\widehat{AHB}=180^0\)\(\Rightarrow\widehat{AHB}=90^0\)
\(\Rightarrow AK\perp BI\)tại H
Sửa đề: cắt BA,BC lần lượt tại P và Q
Xét ΔABI có PM//BI
nên \(\dfrac{PM}{BI}=\dfrac{AM}{AI}\)
=>\(PM=BI\cdot\dfrac{AM}{AI}\)
Xét ΔMQC có BI//QM
nên \(\dfrac{BI}{QM}=\dfrac{CI}{CM}\)
=>\(QM=BI\cdot\dfrac{CM}{CI}\)
\(MP+MQ\)
\(=BI\cdot\left(\dfrac{CM}{CI}+\dfrac{AM}{AI}\right)\)
\(=BI\cdot\left(\dfrac{CI+IM}{CI}+\dfrac{AM}{CI}\right)\)
\(=BI\cdot\left(1+\dfrac{IM}{CI}+\dfrac{AM}{CI}\right)\)
\(=BI\cdot\left(1+\dfrac{IM+AM}{CI}\right)\)
\(=BI\left(1+\dfrac{AI}{CI}\right)=2BI\)