cho tam giaác ABC vuông tại A , AH vuông góc với BC tại H, lấy điểm I sao cho AC là đường trung trực của đoạn thẳng HI ,HI cắt AC tại M lấy điểm K sao cho AB là đường trung trực cưa đoạn thẳng HK giao điểm của HK và AB là N a,chứng minh tam giác AHI cân b, chứng minh A là trung điểm của đoạn thẳng IK c, chứng minh MN song ssong IK
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: Điểm K đối xứng với điểm F qua AC => FC=KC; AF=AK
=> \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)ACK (c.c.c) => ^AFC=^AKC (2 góc tương ứng)
Ta thấy tứ giác ABFC nội tiếp đường tròn tâm O => ^AFC=^ABC.
H là trực tâm của tam giác ABC => CH\(\perp\)AB (tại D)
=> ^HCB + ^ABC = 900 (1)
Lại có AH\(\perp\)BC => ^LHC + ^HCB = 900 (2)
Từ (1) và (2) => ^ABC=^LHC. Mà ^LHC + ^AHC = 1800
=> ^ABC + ^AHC = 1800. Do ^ABC=^AFC=^AKC (cmt) => ^AKC + ^AHC= 1800
Xét tứ giác AHCK có: ^AKC + ^AHC =1800 => Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) AO cắt GI tại Q
Gọi giao điểm của AO và (O) là P = >^ACP=900 => ^CAP+^CPA=900 (*)
Thấy tứ giác ACPB nội tiếp đường tròn (O) => ^CPA=^ABC
Mà ^ABC+^AHC=1800 => ^CPA+^AHC=1800 (3).
Ta có tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp (cmt) => ^KAI=^CHI
Lại có \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)ACK => ^FAC=^KAC hay ^KAI=^GAI => ^GAI=^CHI
Xét tứ giác AHGI: ^GAI=^GHI (=^CHI) (cmt) = >Tứ giác AHGI nội tiếp đường tròn
=> ^AIG+^AHG=1800 hay ^AIG + ^AHC=1800 (4)
Từ (3) và (4) => ^AIG=^CPA (**)
Từ (*) và (**) => ^CAP+^AIG=900 hay ^IAQ+^AIQ=900 => \(\Delta\)AIQ vuông tại Q
Vậy AO vuông góc với GI (đpcm).
Xét \(\Delta BAD\)(\(\widehat{A}=90^o\))và \(\Delta BHD\)(\(\widehat{H}=90^o\))có:
\(\widehat{ABD=\widehat{HBD}}\)(gt)
BD: cạnh chung
=> \(\Delta ABD=\Delta HBD\left(CH-GN\right)\)
=> AB=BH; AD=DC (2 cạnh t/ứng)
và \(\widehat{BDA=\widehat{BDC}}\)(2 góc t/ứng)
Xét \(\Delta ABH\)cân tại B(vì AB=BH[cmt]) có : BD là đường p.g
=> B là điểm thuộc đường trung trực AH (1)
Xét \(\Delta ADH\)cân tại D(vì AD=DH(cmt)) có: DB là đường p.g ( vì \(\widehat{BDA=\widehat{BDC}}\))
=> D là điểm thuộc đường trung trực AH (2)
Từ (1) và (2)=> BD là trung trực của đt AH
+ Xét \(\Delta ABD\)vuông tại A và \(\Delta HBD\)vuông tại H ( vì \(DH\perp BC\))
Có : BD là cạnh chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)( Vì BD là p/g của góc B) => \(\Delta ABD=\Delta HBD\)( canh huyền-góc nhọn)
=> AB = HB
+ Gọi I là giao điểm của BD và AH
CM đc : \(\Delta ABI=\Delta HBI\)(c-g-c)
=> IA = IH ( 2 cạnh tương ứng) (1)
và \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH}\)( 2 góc t.ư)
Vì \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH};\widehat{BIA}+\widehat{BIH}=180^o\)( 2 góc k.bù)
=> \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH}=\frac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow BD\perp AH\)tại I (2)
Từ (1),(2) => BD là trung trực của đth AH
a: AC là đường trung trực của HI
=>AC\(\perp\)HI tại trung điểm của HI
=>AC\(\perp\)HI tại M và M là trung điểm của HI
AB là đường trung trực của HK
=>AB\(\perp\)HK tại trung điểm của HK
=>AB\(\perp\)HK tại N và N là trung điểm của HK
Xét ΔAHI có
AM là đường cao
AM là đường trung tuyến
Do đó: ΔAHI cân tại A
b: Xét ΔAHK có
AN là đường cao
AN là đường trung tuyến
Do đó: ΔAHK cân tại A
Ta có: ΔAHK cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là phân giác của góc HAK
=>\(\widehat{HAK}=2\cdot\widehat{HAB}\)
Ta có: ΔAHI cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc HAI
=>\(\widehat{HAI}=2\cdot\widehat{HAC}\)
Ta có: \(\widehat{IAK}=\widehat{IAH}+\widehat{HAK}\)
\(=2\cdot\widehat{HAB}+2\cdot\widehat{HAC}\)
\(=2\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)=2\cdot90^0=180^0\)
=>I,A,K thẳng hàng
mà AK=AI(=AH)
nên A là trung điểm của KI
c: Xét ΔHKI có
M,N lần lượt là trung điểm của HI,HK
=>MN là đường trung bình của ΔHKI
=>MN//KI