Question

[Tạ Đức Minh]

Giúp em câu d, e bài toán sau: 

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính MB. Kẻ tiếp tuyến Mx và By. Lấy A thuộc Mx. Qua A kẻ tiếp tuyến AN với (O), (N là tiếp điểm). Biết AO cắt MN tại I và cắt (O) tại E. Chứng minh:

a)    A,M,O,N cùng thuộc một đường tròn

b)   AO//BN

c)    C) 4.OI.OA = MB^2

d)   E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMN và tính tỉ số EA:EI

e)    Biết MN cát By tại P. Chứng minh góc ABM = góc BPO.

Answer 1

[Lê Song Phương]

d) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau trong đường tròn (O) và 2 tiếp tuyến tại M và N, ta có AO là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\) (1)

 Lại có \(\widehat{AME}=\widehat{MNE}\) (do chúng là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung đó)

 Hơn nữa, vì AO là trung trực của đoạn MN nên E thuộc trung trực của MN \(\Rightarrow EM=EN\) \(\Rightarrow\Delta EMN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{ENM}=\widehat{EMN}\)

 Từ đó suy ra \(\widehat{AME}=\widehat{EMN}\) hay ME là tia phân giác của \(\widehat{AMN}\). (2)

 Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) đpcm.

e) Gọi C là giao điểm của PO và (AMN). Khi đó ta có  \(PB^2=PN.PM=PC.PO\) nên \(\Delta PBC~\Delta POB\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{PCB}=\widehat{PBO}=90^o\) \(\Rightarrow PC\perp BC\)

Mặt khác, do đường tròn (AMN) có đường kính là AO nên \(\widehat{ACO}=90^o\Rightarrow AC\perp PC\)

 Từ đó suy ra A, B, C thẳng hàng. Do đó \(\widehat{ABM}=\widehat{BPO}\) (vì cùng phụ với \(\widehat{POB}\))