Question

[Kim Tuyền]

Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB= 4cm, BC= 6cm

a) Giải △ABC

b) Kẻ HD vuông AB và HE vuông AC. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật này

c) Trên EC lấy điểm M. Kẻ AI vuông BM. Chứng minh các hệ thức BI . BM = BH . BC và BD . DA + CE . EA = AH\(^2\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=6^2-4^2=20\)

=>\(AC=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2}{3}\)

nên \(\widehat{C}\simeq41^048'\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>\(\widehat{B}=90^0-41^048'=48^012'\)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot6=4\cdot2\sqrt{5}=8\sqrt{5}\)

=>\(AH=\dfrac{8\sqrt{5}}{6}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}\left(cm\right)\)

c: Xét ΔABM vuông tại A có AI là đường cao

nên \(BI\cdot BM=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BI\cdot BM=BH\cdot BC\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(BD\cdot DA=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(CE\cdot EA=HE^2\)

\(BD\cdot DA+CE\cdot EA\)

\(=HD^2+HE^2\)

\(=AH^2\)