Question

[Bùi Đạt Khôi]

cho a,b,c khác 0

1/a+1/b+1/c=1/a+b+c

CMR 1/a^3 +1/b^3+1/c^3=1/a^3+b^3+c^3 bai nay kho cac thanh dai so vao giup minh nhe

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{c-\left(a+b+c\right)}{ac+bc+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}==\frac{-a-b}{ac+bc+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)=-\left(a+b\right)ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)+\left(a+b\right)ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)

=> a = - b hoặc a= - c hoặc b = - c

Với \(a=-b\) thì \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{-b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\) (1)

\(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}\)(2)

Từ (1);(2) => \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\)

Còn 2 TH nữa là b = - c và - c = a bn xét tiếp nha

Answer 2

[Kurosaki Akatsu]

Có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\frac{bc+ca+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(bc+ca+ab\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow abc+ca^2+a^2b+b^2c+abc+ab^2+c^2b+c^2a+abc=abc\)

\(\Leftrightarrow3abc+ca^2+a^2b+b^2c+ab^2+c^2b+c^2a=abc\)

\(\Leftrightarrow2abc+a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2b+c^2a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

<=> a + b = 0    hoặc     b + c = 0     hoặc     c + a = 0

Với a + b = 0

=> a = -b 

Thay vào biểu thức cần chứng minh 

=> \(\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\) (đúng)

Tượng tự với 2 trường hợp còn lại .