Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(23;{\rm{ }}41;{\rm{ }}71;{\rm{ }}29;{\rm{ }}48;{\rm{ }}45;{\rm{ }}72;{\rm{ }}41\).
+) Số trung bình: \(\overline x = \frac{{23 + 41 + 71 + 29 + 48 + 45 + 72 + 41}}{8} = 46,25\)
+) Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: \(23;{\rm{ }}29;{\rm{ }}41;{\rm{ }}41;\;{\rm{ }}45;{\rm{ }}48;\;71;72\)
Bước 2: \(n = 8\), là số chẵn nên \({Q_2} = {M_e} = \frac{1}{2}(41 + 45) = 43\)
\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu \(23;{\rm{ }}29;{\rm{ }}41;{\rm{ }}41\). Do đó \({Q_2} = \frac{1}{2}(29 + 41) = 35\)
\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu \(45;{\rm{ }}48;\;71;72\). Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}(48 + 71) = 59,5\)
+) Chỉ có giá trị 41 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.
Do đó mốt \({M_o} = 41\)
b) \(12;{\rm{ }}32;{\rm{ }}93;{\rm{ }}78;{\rm{ }}24;{\rm{ }}12;{\rm{ }}54;{\rm{ }}66;{\rm{ }}78\).
+) Số trung bình: \(\overline x = \frac{{12 + 32 + 93 + 78 + 24 + 12 + 54 + 66 + 78}}{9} \approx 49,89\)
+) Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: \(12;{\rm{ }}12;{\rm{ }}24;{\rm{ }}32;{\rm{ }}54;{\rm{ }}66;{\rm{ }}78;{\rm{ }}78;\;93\)
Bước 2: \(n = 9\), là số lẻ nên \({Q_2} = {M_e} = 54\)
\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu \(12;{\rm{ }}12;{\rm{ }}24;{\rm{ }}32\). Do đó \({Q_2} = \frac{1}{2}(12 + 24) = 18\)
\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu \(66;{\rm{ }}78;{\rm{ }}78;\;93\). Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}(78 + 78) = 78\)
+) Giá trị 12 và giá trị 78 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.
Do đó mốt \({M_o} = 12,{M_o} = 78.\)
Ví dụ, ta có bảng đo chiều cao của các bạn trong tổ như sau:
160 | 162 | 164 | 165 | 172 | 174 | 177 | 178 | 180 |
a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
160 162 164 165 172 174 177 178 180
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
\(\overline x = \frac{{160\;\; + 162\;\; + 164\;\;\; + \;\;165\;\; + \;172\;\; + \;174\;\; + \;177\; + \;\;178\; + \;180}}{9} = \frac{{1532}}{9}\)
Trung vị của mẫu số liệu trên là: Do mẫu số liệu trên có 9 số liệu ( lẻ ) nên trung vị \({Q_2} = 172\)
Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:
- Trung vị của dãy 160 162 164 165 là: \({Q_1} = 163\)
- Trung vị của dãy 174 177 178 180 là: \({Q_3} = 177,5\)
- Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({Q_1} = 163\), \({Q_2} = 172\), \({Q_3} = 177,5\)
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: \(R = {x_{\max }} - {x_{\min }} = 180 - 160 = 20\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 177,5 - 163 = 14,5\)
c) Phương sai của mẫu số liệu trên là:
\({s^2} = \frac{{\left[ {{{\left( {160 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {162 - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {180 - \overline x } \right)}^2}} \right]}}{9} \approx 50,84\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 7,13\)
a) Sắp xếp theo thứ tự không giảm:
0 0 0 0 0 0 0 4 6 10
Số trung bình: \(\overline X = \dfrac{{0.7 + 4 + 6 + 10}}{{10}} = 2\)
Trung vị: \({Q_2} = 0\)
+ Mốt: 0
Tứ phân vị:
+ Nửa bên trái của \({Q_2}\):
0 0 0 0 0
=>\({Q_1} = 0\)
+ Nửa bên phải của \({Q_2}\):
0 0 4 6 10
=>\({Q_3} = 4\)
b) Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau vì mật độ của mẫu số liệu tập trung hết ở nửa trái của trung vị, mẫu số liệu bên trái có số liệu bằng 0 hết.
a) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: \(2;2;5;7;10;10;13;15;19\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = 19 - 2 = 17.\)
Cỡ mẫu là \(n = 9\) là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: \({Q_2} = 10.\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(2;2;5;7\). Do đó \({Q_1} = 3,5\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(10;13;15;19\). Do đó \({Q_3} = 14\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: \({\Delta _Q} = 14 - 3,5 = 10,5\)
b) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: \(1;2;5;5;9;10;10;15;15;19\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = 19 - 1 = 18.\)
Cỡ mẫu là \(n = 10\) là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: \({Q_2} = 9,5.\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(1;2;5;5;9\). Do đó \({Q_1} = 5.\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(10;10;15;15;19\). Do đó \({Q_3} = 15\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: \({\Delta _Q} = 15 - 5 = 10\)
Ta có:
Tổng số viên pin là: \(n = 10 + 20 + 35 + 15 + 5 = 85\).
• Điện lượng trung bình của một số viên pin tiểu sau khi ghép nhóm là:
\(\bar x = \frac{{10.0,925 + 20.0,975 + 35.1,025 + 15.1,075 + 5.1,125}}{{85}} \approx 1,02\left( {mAh} \right)\)
• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}\).
Do đó: \({u_m} = 1,0;{n_{m - 1}} = 20;{n_m} = 35;{n_{m + 1}} = 15;{u_{m + 1}} - {u_m} = 1,05 - 1,0 = 0,05\)
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,0 + \frac{{35 - 20}}{{\left( {35 - 20} \right) + \left( {35 - 15} \right)}}.0,05 \approx 1,02\left( {mAh} \right)\)
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{85}}\) là điện lượng của các viên pin được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x_1},...,{x_{10}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,9;0,95} \right)}\end{array};{x_{11}},...,{x_{30}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,95;1,0} \right)}\end{array}}\end{array};{x_{31}},...,{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array};\\{x_{66}},...,{x_{80}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,05;1,1} \right)}\end{array}}\end{array};{x_{81}},...,{x_{85}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,1;1,15} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}\end{array}\)
• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \({x_{43}}\)
Ta có: \(n = 85;{n_m} = 35;C = 10 + 20 = 30;{u_m} = 1,0;{u_{m + 1}} = 1,05\)
Do \({x_{43}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,0 + \frac{{\frac{{85}}{2} - 30}}{{35}}.\left( {1,05 - 1,0} \right) \approx 1,02\)
• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right)\).
Ta có: \(n = 85;{n_m} = 20;C = 10;{u_m} = 0,95;{u_{m + 1}} = 1,0\)
Do \({x_{21}},{x_{22}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,95;1,0} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:
\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 0,95 + \frac{{\frac{{85}}{4} - 10}}{{20}}.\left( {1,0 - 0,95} \right) \approx 0,98\)
• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{64}} + {x_{65}}} \right)\).
Ta có: \(n = 85;{n_j} = 35;C = 10 + 20 = 30;{u_j} = 1,0;{u_{j + 1}} = 1,05\)
Do \({x_{64}},{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:
\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 1,0 + \frac{{\frac{{3.85}}{4} - 30}}{{35}}.\left( {1,05 - 1,0} \right) \approx 1,048\)
a)
+) Số trung bình \(\overline x = \frac{{6 + 8 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 + 4}}{9} = 5\)
+) phương sai hoặc \({S^2} = \frac{1}{9}\left( {{6^2} + {8^2} + ... + {4^2}} \right) - {5^2} = \frac{{10}}{3}\)
=> Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {\frac{{10}}{3}} \approx 1,8\)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.
+) Khoảng biến thiên: \(R = 8 - 2 = 6\)
Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)
\({Q_2} = {M_e} = 5\)
\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu 2; 3; 4; 4. Do đó \({Q_1} = 3,5\)
\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu: 6; 6; 7; 8. Do đó \({Q_3} = 6,5\)
+) Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = 6,5 - 3,5 = 3\)
+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu \(x > 6,5 + 1,5.3 = 11\) hoặc \(x < 3,5 - 1,5.3 = - 1\)
Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.
b)
+) Số trung bình \(\overline x = \frac{{13 + 37 + 64 + 12 + 26 + 43 + 29 + 23}}{8} = 30,875\)
+) phương sai hoặc \({S^2} = \frac{1}{8}\left( {{{13}^2} + {{37}^2} + ... + {{23}^2}} \right) - 30,{875^2} \approx 255,8\)
=> Độ lệch chuẩn \(S \approx 16\)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.
+) Khoảng biến thiên: \(R = 64 - 12 = 52\)
Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)
\({Q_2} = {M_e} = 27,5\)
\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu 12; 13; 23; 26. Do đó \({Q_1} = 18\)
\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu: 29; 37; 43; 64. Do đó \({Q_3} = 40\)
+) Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = 40 - 18 = 22\)
+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu \(x > 40 + 1,5.22 = 73\) hoặc \(x < 18 - 1,5.22 = - 15\)
Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.
Tổng số học sinh: \(n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82\)
• Điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 11 trên là:
\(\bar x = \frac{{8.6,75 + 10.7,25 + 16.7,75 + 24.8,25 + 13.8,75 + 7.9,25 + 4.9,75}}{{82}} = 8,12\)
• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[ {8;8,5} \right)\).
Do đó: \({u_m} = 8;{n_{m - 1}} = 16;{n_m} = 24;{n_{m + 1}} = 13;{u_{m + 1}} - {u_m} = 8,5 - 8 = 0,5\)
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{24 - 16}}{{\left( {24 - 16} \right) + \left( {24 - 13} \right)}}.0,5 \approx 8,21\)
• Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{82}}\) là điểm của các học sinh lớp 11 được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x_1},...,{x_8} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {6,5;7} \right)}\end{array};{x_9},...,{x_{18}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {7;7,5} \right)}\end{array};{x_{19}},...,{x_{34}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {7,5;8} \right)}\end{array};{x_{35}},...,{x_{58}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {8;8,5} \right)}\end{array};\\{x_{59}},...,{x_{71}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {8,5;9} \right)}\end{array};{x_{72}},...,{x_{78}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {9;9,5} \right)}\end{array};{x_{79}},...,{x_{82}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {9,5;10} \right)}\end{array}\end{array}\)
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{41}} + {x_{42}}} \right)\)
Ta có: \(n = 82;{n_m} = 24;C = 8 + 10 + 16 = 34;{u_m} = 8;{u_{m + 1}} = 8,5\)
Do \({x_{41}},{x_{42}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8;8,5} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{\frac{{82}}{2} - 34}}{{24}}.\left( {8,5 - 8} \right) \approx 8,15\)
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \({x_{21}}\).
Ta có: \(n = 82;{n_m} = 16;C = 8 + 10 = 18;{u_m} = 7,5;{u_{m + 1}} = 8\)
Do \({x_{21}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {7,5;8} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:
\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 7,5 + \frac{{\frac{{82}}{4} - 18}}{{16}}.\left( {8 - 7,5} \right) \approx 7,58\)
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \({x_{62}}\).
Ta có: \(n = 82;{n_j} = 13;C = 8 + 10 + 16 + 24 = 58;{u_j} = 8,5;{u_{j + 1}} = 9\)
Do \({x_{62}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8,5;9} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:
\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 8,5 + \frac{{\frac{{3.82}}{4} - 58}}{{13}}.\left( {9 - 8,5} \right) \approx 8,63\)
a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là: \(\overline X = \frac{{165 + 155 + 171 + 167 + 159 + 175 + 165 + 160 + 158}}{9} = 163,9\)
b) Mẫu số liệu theo thứ tự không giảm là:
155 158 159 160 165 165 167 171 175
Mẫu số liệu trên có 9 số liệu nên số trung vị là: \({M_e} = 165\)
c) Ta có bàng tần số
155 | 158 | 159 | 160 | 165 | 167 | 171 | 175 |
1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 |
Vậy mốt của mẫu số liệu là: \({M_o} = 165\)
d) Mẫu số liệu theo thứ tự không giảm là:
155 158 159 160 165 165 167 171 175
Mẫu số liệu trên có 9 số liệu nên số trung vị là: \({M_e} = 165\)
Trung vi của dãy số 155 158 159 160 là: \({Q_1} = \frac{{158 + 159}}{2} = 158,5\)
Trung vị của dãy số 165 167 171 175 là: \({Q_3} = \frac{{167 + 171}}{2} = 169\)
Vậy \({Q_1} = 158,5\), \({Q_2} = 165\), \({Q_3} = 169\)
a)
+) Số trung bình: \(\overline x = \frac{{23.6 + 25.8 + 28.10 + 31.6 + 33.4 + 37.3}}{{6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3}} \approx 28,3\)
+) Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm,
\(\underbrace {23,...,23}_6,\underbrace {25,...25}_8,\underbrace {28,...,28}_{10},\underbrace {31,...,31}_6,\underbrace {33,...,33}_4,37,37,37\)
Bước 2: \(n = 6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3 = 37\), là số lẻ \( \Rightarrow {Q_2} = {X_{19}} = 28\)
\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái \({Q_2}\): \(\underbrace {23,...,23}_6,\underbrace {25,...25}_8,\underbrace {28,...,28}_4\)
Do đó \({Q_1} = \frac{1}{2}({X_9} + {X_{10}}) = \frac{1}{2}(25 + 25) = 25\)
\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải \({Q_2}\)
\(\underbrace {28,...,28}_5,\underbrace {31,...,31}_6,\underbrace {33,...,33}_4,37,37,37\)
Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}({X_9} + {X_{10}}) = \frac{1}{2}(31 + 31) = 31\)
+) Mốt \({M_o} = 28\)
b) Giả sử cỡ mẫu \(n = 10\)
Khi đó ta có bảng số liệu như sau:
Giá trị
0
2
4
5
Tần số
6
2
1
1
+) Số trung bình: \(\overline x = \frac{{0.0,6 + 2.0,2 + 4.0,1 + 5.0,1}}{{0,6 + 0,2 + 0,1 + 0,1}} = 1,3\)
+) Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm \(0,0,0,0,0,0,2,2,4,5\)
Bước 2: \(n = 10\), là số chẵn \( \Rightarrow {Q_2} = \frac{1}{2}(0 + 0) = 0\)
\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu: \(0,0,0,0,0\). Do đó \({Q_1} = 0\)
\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu: \(0,2,2,4,5\). Do đó \({Q_3} = 2\)
+) Mốt \({M_o} = 0\)