Cho a,b là 2 số dương. Chứng minh rằng:
a) (a + b)(a^3 + b^3) nhỏ hơn hoặc bằng 2(a^4 + b^4)
b) (a + b)( a^4 + b^4) lớn hơn hoặc bằng (a^2 + b^2)(a^3 + b^3)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 7 2021
a.
Ta có: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{3}.2^2=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
b.
\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.2^2=2\) (sử dụng kết quả \(a^2+b^2\ge2\) của câu a)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
c.
\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}ab.2ab\left(a^2+b^2\right)\le\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^2\left(2ab+a^2+b^2\right)^2=2\)
d.
\(8\left(a^4+b^4\right)+\dfrac{1}{ab}\ge8.2+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=16+\dfrac{4}{2^2}=17\) (sử dụng kết quả câu b)
18 tháng 7 2017
\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
b ) chuyển vế tương tự
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
4 tháng 2 2017
Trước tiên chứng minh:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
(nhân vô rút gọn chuyển hết sang trái được)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+c^2b\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)+\left(b^2a-2abc+c^2a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a\sqrt{b}-c\sqrt{b}\right)^2+\left(a\sqrt{c}-b\sqrt{c}\right)^2+\left(b\sqrt{a}-c\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đây ta có:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{4\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)}\)
\(\le\frac{9}{4.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(ab+bc+ca\le\frac{3}{4}\)