cho a,b,c là 3 số thực số thực dương và thỏa mãn: abc=1
Tìm GTLN của D = \(\dfrac{a}{b^4+c^4+a}\)+\(\dfrac{b}{a^4+c^4+b}\)+\(\dfrac{c}{a^4+b^4+c}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Em kiểm tra lại mẫu số của biểu thức c, chắc chắn đề sai
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Trước hết ta c/m bổ đề sau:
Với mọi số thực dương x;y ta luôn có:
\(x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)
Thật vậy, BĐT đã cho tương đương:
\(x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng bổ đề trên ta có:
\(T\le\dfrac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a}+\dfrac{b}{ac\left(a^2+c^2\right)+b}+\dfrac{c}{ab\left(a^2+b^2\right)+c}\)
\(\Rightarrow T\le\dfrac{a^2}{abc\left(b^2+c^2\right)+a^2}+\dfrac{b^2}{abc\left(a^2+c^2\right)+b^2}+\dfrac{c^2}{abc\left(a^2+b^2\right)+c^2}\)
\(\Rightarrow T\le\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
\(T_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Với mọi số thực dương a;b;c ta có BĐT:
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Tương tự, ta có:
\(VT\le\dfrac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}+\dfrac{bc}{bc\left(b^2+c^2\right)+bc}+\dfrac{ca}{ca\left(c^2+a^2\right)+ca}\)
\(VT\le\dfrac{1}{a^2+b^2+1}+\dfrac{1}{b^2+c^2+1}+\dfrac{1}{c^2+a^2+1}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT\le\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\)
Ta lại có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\dfrac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\dfrac{xyz}{zx\left(z+x\right)+xyz}=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Nhân vế với vế của giả thiết:
\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{c}\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{28}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{a}{c}+1\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{28}{3}\)
\(\Leftrightarrow abc+\dfrac{1}{abc}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c=\dfrac{28}{3}\) (1)
Cộng vế với vế giả thiết:
\(\Rightarrow a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=4+1+\dfrac{7}{3}=\dfrac{22}{3}\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow abc+\dfrac{1}{abc}+\dfrac{22}{3}=\dfrac{28}{3}\)
\(\Rightarrow abc+\dfrac{1}{abc}=2\)
\(\Rightarrow\left(abc\right)^2-2\left(abc\right)+1=0\)
\(\Rightarrow\left(abc-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow abc=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo giả thiết kết hợp sử dụng BĐT AM - GM có:
\(\left(a+b-c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)=\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+1-\left[c\left(a+b\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\right]\)
\(\le\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+1-2\sqrt{\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}=\left[\sqrt{\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}-1\right]^2\)
Suy ra \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}-1\ge2\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge7\)
Khi đó, sử dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
\(\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\ge\left[\sqrt{\left(a^4+b^4\right)\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}\right)}+1\right]^2\)
\(=\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}+1\right)^2=\left[\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)^2-1\right]^2\ge\left(7^2-1\right)^2=2304\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(ab=c^2\) và \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=7\)
(a+b-c)(1/a+1/b-c)=(a+b)(1/a+1/b)+1-[c(a+b)+c(1/a+1/b)]<=(a+b)(1/a+1/b)+1-2căn (a+b)(1/a+1/b)
=[(căn (a+b)(1/a+1/b))-1]^2
=>\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}-1>=2\)
=>\(\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2}>=3\)
=>a/b+b/a>=7
(a^4+b^4+c^4)(1/a^4+1/b^4+1/c^4)>=[căn ((a^4+b^4)(1/a^4+1/b^4))+1]^2
=(a^2/b^2+b^2/a^2+1)^2=[(a/b+b/a)^2-1]^2>=(7^2-1)^2=2304
=>ĐPCM
Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:
Với a,b>0�,�>0 thì a2+b4≥ab(a2+b2)�2+�4≥��(�2+�2)
Cách CM:
BĐT trên tương đương với: (a−b)2(a2+ab+b2)≥0(�−�)2(�2+��+�2)≥0 (luôn đúng)
Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :
⇒ca4+b4+c≤cab(a2+b2)+c2ab=cab(a2+b2+c2)=c2a2+b2+c2⇒��4+�4+�≤���(�2+�2)+�2��=���(�2+�2+�2)=�2�2+�2+�2
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
⇒T≤a2+b2+c2a2+b2+c2=1⇒�≤�2+�2+�2�2+�2+�2=1 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Nó bị mất cái dấu gạch ngang chỗ phân số nha b