cho a,b,ce(0,1),chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phản chứng rằng tất cả đều đúng. Tích các bất đẳng thức lại cho ta
\(a\left(1-a\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)d\left(1-d\right)>\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{8}\times\frac{3}{32}=\frac{1}{256}.\)
Mặt khác, ta có \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\to a\left(1-a\right)\le\frac{1}{4}.\) Tương tự \(b\left(1-b\right),c\left(1-c\right),d\left(1-d\right)\le\frac{1}{4}\to\)
\(a\left(1-a\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)d\left(1-d\right)
Giả sử \(a\left(2-b\right)>1,b\left(2-c\right)>1,c\left(2-a\right)>1\)
\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)>1\) (1)
Mặt khác, ta có:
\(a\left(2-a\right)=-a^2+2a=-\left(a-1\right)^2+1\le1\)
Tương tự, \(b\left(2-b\right)\le1,c\left(2-c\right)\le1\)
\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le1\),điều này trái với (1)
Vậy điều giả sử là sai.
Do đó ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức trên là sai.
bài 2
(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi
Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)
khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)
Tương tự \(b< ac,c< ab\)
Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)
mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên
\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)
Vậy bài toán được chứng minh
3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)
và \(xy+yz+xz\ge1\)
ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng
\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)
Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử
\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)
Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó
\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)
mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.
giả sử các bất đẳng thức trên đều đúng, tức là ;
\(a\left(1-b\right)>\frac{1}{4},\) \(b\left(1-c\right)>\frac{1}{4},\) \(c\left(1-a\right)>\frac{1}{4}\)
Suy ra: \(a\left(1-b\right)b\left(1-c\right)c\left(1-a\right)>\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-1\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)>\frac{1}{64}\)
Điều này vô lí vì: \(\begin{cases}0>a\left(1-a\right)\le\frac{1}{4}\\0>b\left(1-b\right)\le\frac{1}{4}\\0>c\left(1-c\right)\le\frac{1}{4}\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(Đpcm\right)\)