Cho 2 số dương a, b thỏa mãn điều kiện \(a+b\le2\)
Cm \(\frac{\left(a+1\right)^6}{b^5}+\frac{\left(b+1\right)^6}{a^5}\ge128\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 5 2017
mình k nhầm. câu này yêu cầu cm chứ đâu phải là tìm a, b
HN
25 tháng 4 2017
Làm biếng làm quá ký hiện \(\sum\) cho mau nhé
\(\sum\dfrac{\left(a+1\right)^6}{b^5}\ge\sum\dfrac{\left(2\sqrt{a}\right)^6}{b^5}=\sum\dfrac{64a^3}{b^5}\ge64.2\sqrt{\dfrac{1}{a^2b^2}}\)
\(\ge\dfrac{128}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge\dfrac{128}{\dfrac{2^2}{4}}=128\)
25 tháng 4 2017
phiền ông nha nhưng mà tỉnh t chưa học xích ma nhờ ông ghi chi tít jup t nha tks
KN
28 tháng 8 2020
Áp dụng giả thiết và một đánh giá quen thuộc, ta được: \(16\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{ab+bc+ca}\)hay \(\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\le\frac{8}{9}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)hay \(\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3\ge\frac{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\); \(\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)
Đây là một đánh giá đúng, thật vậy: đặt a + b + c = p; ab + bc + ca = q; abc = r thì bất đẳng thức trên trở thành \(pq-r\ge\frac{8}{9}pq\Leftrightarrow\frac{1}{9}pq\ge r\)*đúng vì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\))
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
PN
31 tháng 5 2016
Đặt \(x=\frac{2}{a};\) \(y=\frac{4}{b};\) \(z=\frac{1}{c}\)
(Vì \(a,b,c\in R^+\) nên suy ra \(x,y,z>0\) )
Khi đó, điều kiện (giả thiết) đã cho trở thành \(\frac{x^3+y^3}{xyz}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=6\) \(\left(\text{*}\right)\)
Với điều kiện mà \(x,y,z\) nhận được trên thì ta dễ dàng chứng minh được:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Do đó, \(\frac{x^3+y^3}{xyz}\ge\frac{xy\left(x+y\right)}{xyz}=\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác, nhờ vào bđt Cauchy và yếu tố chủ chốt là \(x,y>0\), ta có đánh giá sau: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
nên \(6=\frac{x^3+y^3}{xyz}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{x+y}{z}+4\)
\(\Rightarrow\) \(0< \frac{x+y}{z}\le2\)
\(--------------\)
Ta có:
\(P=\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{4z}{x+y}\ge\frac{x^2}{xy+2xz}+\frac{y^2}{2yz+xy}+\frac{4z}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+2z\left(x+y\right)}+\frac{4z}{x+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+2z\left(x+y\right)}+\frac{4z}{x+y}=\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+4z}+\frac{4z}{x+y}\)
Tóm lại: \(P\ge\frac{\frac{2\left(x+y\right)}{z}}{\frac{x+y}{z}+4}+\frac{4}{\frac{x+y}{z}}\)
\(--------------\)
Đặt \(t=\frac{x+y}{z}\) \(\left(0< t\le2\right)\). Ta biểu diễn bất đẳng thức trên dưới dạng biến \(t\) như sau:
\(P\ge\frac{2t}{t+4}+\frac{4}{t}=\frac{2t}{t+4}+\frac{4}{t+4}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{64t}{t\left(t+4\right)^3}}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}\)
\(\ge\frac{12}{t+4}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}\ge\frac{12}{2+4}+\frac{8}{2.6}=\frac{8}{3}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\\frac{x+y}{z}=2\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z\) \(\Leftrightarrow\) \(2a=b=4c\)
Vậy, \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{8}{3}\) khi \(2a=b=4c\)
19 tháng 2 2022
Ta có:
\(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)
Hoàn toàn tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\);
\(\frac{1}{\left(c+b+\sqrt{\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\)
\(\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Do đó:
\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\)
\(\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh, bất đẳng thức xày ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)