Cho x là số hữu tỉ khác 0, y là số vô tỉ. Chứng minh rằng: x+y; x-y; x.y; \(\frac{x}{y}\) la những số vô tỉ
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Cho số hữu tỉ a/b khác 0. Chứng minh rằng: a/b là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét số hữu tỉ a/b, có thể coi b > 0.
Nếu a, b cùng dấu thì a > 0 và b > 0.
Suy ra (a/b) > (0/b) = 0 tức là a/b dương.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Chứng minh phản chứng: Giả sử tổng đó là số hữu tỉ
=> Số hạng vô tỉ = Số hữu tỉ - Số hữu tỉ => Số vô tỉ = Số hữu tỉ => Mâu thuẫn
Vậy tổgg só là số vô tỉ
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét số hữu tỉ a/b, có thể coi b > 0.
Nếu a, b khác dấu thì a < 0 và b > 0.
Suy ra (a/b) < (0/b) = 0 tức là a/b âm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Cho 3 **** kiểu gì nào?
a) a,b có thể là số vô tỉ. Ví dụ \(a=b=\sqrt{2}\) là vô tỉ mà ab và a/b đều hữu tỉ.
b) Trong trường hợp này \(a,b\) không là số vô tỉ (tức cả a,b đều là số hữu tỉ). Thực vậy theo giả thiết \(a=bt\), với \(t\) là số hữu tỉ khác \(-1\). Khi đó \(a+b=b\left(1+t\right)=s\) là số hữu tỉ, suy ra \(b=\frac{s}{1+t}\) là số hữu tỉ. Vì vậy \(a=bt\) cũng hữu tỉ.
c) Trong trường hợp này \(a,b\) có thể kaf số vô tỉ. Ví dụ ta lấy \(a=1-\sqrt{3},b=3+\sqrt{3}\to a,b\) vô tỉ nhưng \(a+b=4\) là số hữu tỉ và \(a^2b^2=\left(ab\right)^2=12\) cũng là số hữu tỉ.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(P\left(1\right)=a+b+c\)
\(P\left(4\right)=16a+4b+c\)
\(P\left(9\right)=81a+9b+c\)
Vì P(1); P(4) là số hữu tỉ nên \(P\left(4\right)-P\left(1\right)=15a+3b=3\left(5a+b\right)\)là số hữu tỉ
=> \(5a+b\)là số hữu tỉ (1)
Vì P(1); P(9) là số hữu tỉ nên \(P\left(9\right)-P\left(1\right)=80a+8b=8\left(10a+b\right)\)là số hữu tỉ
=> \(10a+b\)là số hữu tỉ (2)
Từ (1), (2) => \(\left(10a+b\right)-\left(5a+b\right)=10a+b-5a-b=5a\)là số hữu tỉ
=> a là số hữu tỉ
Từ (1)=> b là số hữu tỉ
=> c là số hữu tỉ
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử √a là số hữu tỉ thì √a viết được thành √a = m/n với m, n ∈ N, (n ≠ 0) và ƯCLN (m, n) = 1
Do a không phải là số chính phương nên m/n không phải là số tự nhiên, do đó n > 1.
Gọi p là một ước nguyên tố của n thì m2 ⋮ p, do đó m ⋮ p. Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với giả thiết ƯCLN (m, n) = 1. Vậy √a là số vô tỉ.
Lời giải:
$x$ là số hữu tỉ khác $0$. Đặt $x=\frac{a}{b}$ với $a,b$ là số nguyên, $b\neq 0$.
Giả sử $x+y$ là số hữu tỉ. Đặt $x+y=\frac{c}{d}$ với $c,d\in\mathbb{Z}, d\neq 0$
$\Rightarrow y=\frac{c}{d}-x=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd}$ là số hữu tỉ (do $bc-ad, bd\in\mathbb{Z}, bd\neq 0$)
Điều này vô lý do $y$ là số vô tỉ.
$\Rightarrow$ điều giả sử là sai. Tức là $x+y$ vô tỉ.
Hoàn toàn tương tự, $x-y$ cũng là số vô tỉ.
-------------------------------
Chứng minh $xy$ vô tỉ.
Giả sử $xy$ hữu tỉ. Đặt $xy=\frac{c}{d}$ với $c,d$ nguyên và $d\neq 0$
$\Rightarrow y=\frac{c}{d}:x=\frac{c}{d}:\frac{a}{b}=\frac{bc}{ad}\in\mathbb{Q}$
Điều này vô lý do $y\not\in Q$
$\Rightarrow$ điều giả sử là sai $\Rightarrow xy$ vô tỉ.
-------------------------------
CM $\frac{x}{y}$ vô tỉ.
Giả sử $\frac{x}{y}$ hữu tỉ. Đặt $\frac{x}{y}=\frac{c}{d}$ với $c,d$ nguyên, $d\neq 0$
$\Rightarrow y=x:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}: \frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\in\mathbb{Q}$
Điều này vô lý do $y\not\in Q$
$\Rightarrow$ điều giả sử là sai. Tức là $\frac{x}{y}$ vô tỉ.