cho a,b,c là 3 cạnh của 1tam giác và abc=3b+6c
CM \(\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\ge4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
21 tháng 2 2016
Cách 1 : giả sử a,b,c là 3 cạnh của tam giác đều =>a=b=c
=>\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
Vậy a,b,c là ba cạnh của tam giác đều.
Cách 2:
\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}=6\)
<=>\(\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)=6\)
Áp dụng BĐT cô-si cho các cặp số không âm sau: c/b và b/c ; b/a và a/b ; c/a và a/c ta được:
\(\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge2+2+2=6\)
Mà \(\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)=6\)
Do đó chỉ nhận khi dấu "=" xảy ra
Dấu ''=" xảy ra khi a=b=c
Vậy tam giác a,b,c là 3 cạnh của tam giác đều.
Cách 2 khó hỉu :D
PN
21 tháng 2 2016
Bài này bạn dùng cách phá ngoặc và nhóm các hạng tử sẽ ra. Mình đã làm bài này rồi. Bạn tìm trong câu hỏi tương tự sẽ có
5 tháng 7 2021
Ta có:
A = \(\frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{3b+2a}=\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ab}+\frac{c^2}{3bc+2ac}\)
A \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+3ac+2bc+3ab+3bc+2ac}\)(bđt svacxo \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\))
A \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{5\left(a+b+c\right)^2}{3}}\) (bđt \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(*)
CM bđt * <=> \(3xy+3yz+3xz\le x^2+y^2+z^2+2xz+2xy+2yz\)
<=> \(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
<=> A \(\ge\frac{3}{5}\) --> ĐPCM
PN
13 tháng 7 2020
Đặt \(a=x+y;b=y+z;c=z+x\)
Thì bài toán trở thành \(\frac{x+y}{2\left(2x+y\right)}+\frac{y+z}{2\left(2y+z\right)}+\frac{z+x}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)
\(< =>3-\frac{x}{2\left(2x+y\right)}-\frac{y}{2\left(2y+z\right)}-\frac{z}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)
\(< =>\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}\le1\)
\(< =>\frac{2x}{2x+y}+\frac{2y}{2y+z}+\frac{2z}{2z+x}\le2\)
\(< =>3-\frac{y}{2x+y}-\frac{z}{2y+z}-\frac{x}{2z+x}\le2\)
\(< =>\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\ge1\)
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có :
\(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)hay \(a=b=c\)
Vậy bài toán đã được chứng minh xong
17 tháng 6 2018
làm lại dong cuối:\(A\ge\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}\)
Mà:\(2c+b=abc\Rightarrow a=\frac{2c+b}{cb}=\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow2a=\frac{4}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Rightarrow A\ge2a+\frac{6}{a}\)
17 tháng 6 2018
Ta có:\(A=\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\right)+2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
\(+3\left(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
\(\ge\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{c}\) (Do a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên:\(\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\a+c-b>0\\c+b-a>0\end{cases}}\)
\(=\frac{6}{a}+2a\ge4\sqrt{3}\left(cosi\right)\left(a>0\right)\)
Dấu = xảy ra khi:
\(a=b=c=\sqrt{3}\)
3 tháng 4 2019
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x;y>0\right)\) (tự c/m ha)
\(\frac{7}{a}+\frac{5}{b}+\frac{4}{c}=\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{c}\right)\)
\(=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge4.\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+3.\frac{4}{a+c}=4\left(\frac{4}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)\)
Dấu "=" <=> a = b = c
16 tháng 7 2020
Ta có:
\(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}=3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge3.\frac{4}{a+b}=4.\frac{3}{a+b}\)
\(\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\ge4.\frac{2}{b+c}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge4.\frac{1}{a+c}\)
=> \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c