cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 \(\Delta\)
Cm : \(\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|< \frac{1}{8}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 3 2020
\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)c+\left(c^2+a^2\right)b+\left(b^2+c^2\right)a}{abc}=6\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2=6abc\)(1)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)
Mà a,b,c khác 0 nên a=b=c
N
7 tháng 3 2020
gt\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=8\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{a}{b}+\Sigma\frac{b}{a}=6\)
mà theo bđt AM-GM:\(\Sigma\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2.3=6=vp\)
Vậy nên a=b=c hay tam giác ABC đều.
31 tháng 1 2020
\(VT-VP=\frac{\Sigma_{cyc}\left(a-b+c\right)\left(a-b\right)^2}{abc}\ge0\) ( do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác )
13 tháng 10 2016
Ta có
\(1+\frac{b}{a}=\frac{a+b}{a}\ge2\frac{\sqrt{ab}}{a}\)
\(1+\frac{c}{b}\ge2\frac{\sqrt{bc}}{b}\)
\(1+\frac{a}{c}\ge2\frac{\sqrt{ac}}{c}\)
Nhân vế theo vế ta được
\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge8\frac{\sqrt{ab.bc.ca}}{abc}=8\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều
C
5 tháng 3 2020
Ta có:
(1 + b/a)(1 + c/b)(1 + a/c) = 8
<=> (a + b)/a.(b + c)/b.(c + a)/c = 8
<=> (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương a, b, c ta được:
a + b ≥ 2√(ab)
b + c ≥ 2√(bc)
c + a ≥ 2√(ca)
=> (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8√(a^2.b^2.c^2) = 8|abc| = 8abc (vì a, b,c > 0)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b; b = c; c = a <=> a = b = c <=> ΔABC đều
TH
5 tháng 3 2020
https://olm.vn/hoi-dap/detail/2293581520.html cậu tham khảo nhé !
13 tháng 10 2016
Ta có
\(1+\frac{b}{a}=\frac{a+b}{a}\ge2\frac{\sqrt{ab}}{a}\)
\(1+\frac{c}{b}\ge2\frac{\sqrt{bc}}{b}\)
\(1+\frac{a}{c}\ge2\frac{\sqrt{ac}}{c}\)
Nhân vế theo vế ta được
\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge8\frac{\sqrt{ab.bc.ca}}{abc}=8\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\)
Khi đó, \(x,y,z\) dương và ta cần c/m:
\(\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\left(2z+x+y\right)\)
\(\ge8Σ\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\)
Hay \(Σ\left(2x^3+15x^2y-x^2z+\frac{16}{3}xyz\right)\ge0\)
Nó hiển nhiên đúng vì \(x^3+y^3+z^3\ge x^2z+y^2x+z^2y\) theo BĐT Rearrangement
còn 1 cách khác hơi mạnh cần thì nhắn cho mk nhé :)