Cho a,b là hai số dương chứng minh rằng \(\frac{1}{a}\) +\(\frac{1}{b}\) \(\ge\) \(\frac{4}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
K
3
3 tháng 5 2019
Xét hiệu :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{b+a}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
Có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Mà a , b dương \(\Rightarrow\)\(ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
Hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(đpcm\right)\)
3 tháng 5 2019
\(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow\)b( a + b ) + a( a + b ) \(\ge\)4ab
\(\Leftrightarrow\)ab + b2 + a2 + ab - 4ab \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)a2 - 2ab + b2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\)( a - b )2 \(\ge\)0 ( luôn đúng với \(\forall\)a , b)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
BH
2
26 tháng 9 2016
a + b=1 và a,b>0
Áp dụng bất đảng thức cauchy . \(a+b\ge2\sqrt{a.b}\) dấu = xảy ra khi a=b
Vậy \(a.b\le\frac{\left(a+b\right)2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\) \(a.b+2\le\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{ab+2}}\ge\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4}}}=\frac{2}{3}\)(1)
Có \(\frac{1}{a+1},\frac{1}{b+1}\)cũng là số dương nên áp dụng Cauchy có : \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge2\frac{1}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{2}{\sqrt{ab+a+b+1}}=\frac{2}{\sqrt{a.b+2}}\) (2)
Từ (1) thay vào (2) có
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{a.b+2}}\ge2.\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = \(\frac{1}{2}\)
26 tháng 9 2016
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)
22 tháng 6 2021
vì \(a+b+c=1\)
\(< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\)
\(=3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)
ta có pt:
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)\)
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\)
áp dụng bđt cô- si( cauchy) gọi pt là P
\(P\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\frac{a^2+b^2}{4ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}\frac{b^2+c^2}{4bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}\frac{c^2+a^2}{4ca}}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge1+1+1+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
<=>ĐPCM
FS
8 tháng 4 2019
\(Để\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
8 tháng 4 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
CC
19 tháng 5 2017
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a}{bc}\) và \(\frac{b}{ca}\) ta có
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}=2.\frac{1}{c}\)
Làm tương tự ta được
\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng theo từng vế rồi chia cho 2. Ta được BĐT cần chứng minh.
NA
1
HN
14 tháng 2 2017
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow ab+b^2+ab+a^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)
\(\RightarrowĐPCM\)
20 tháng 2 2020
Sửa đề: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{ab+b+2}+\frac{1}{bc+c+2}+\frac{1}{ca+a+2}\le\frac{3}{4}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{ab+b+2}=\frac{1}{ab+1+b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) \(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{b+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{b+1}\right)\)
Tương tự \(\frac{1}{bc+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
\(\frac{1}{ca+a+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}\)
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
PN
1
8 tháng 4 2018
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{b+a}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2+b^2+2ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng ) ( do a;b > 0 )
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a;b>0\end{cases}}\Rightarrow a=b>0\)
Vậy ...
LT
1
3 tháng 12 2015
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (dúng)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (*)
<=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
<=>\(\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=>\(\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=>\(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)(1)
Vì (1) luôn đúng \(\forall a,b\subsetℕ^∗\)
Nên (*) đúng
biến đổi tương đương như bạn kia hoặc Bunyakovsky dạng phân thức cũng được