Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=6\). Tìm GTNN của biểu thức:
\(A=\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cần các cao nhân giải khác phương pháp SS
Không làm theo cách đánh giá 3(a2b+b2c+c2a)\(\le\)(a+b+c)(a2+b2+c2)=3(a2+b2+c2)
Ai làm được xin cảm ơn trước
#)Giải :
Ta có : \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy :
\(\hept{\begin{cases}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\Rightarrow t\ge3\)
\(\Rightarrow P\ge t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\ge3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4\)
\(\Rightarrow P\ge4\Rightarrow P_{min}=4\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{3bc}+\frac{b}{2ca}+\frac{\sqrt{6}c^2}{6}\ge\frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(\frac{3b}{2ca}+\frac{3c}{ab}+\frac{\sqrt{6}a^2}{6}\ge\frac{3\sqrt{6}}{2}\)
\(\frac{2a}{3bc}+\frac{2c}{ab}+\frac{\sqrt{6}b^2}{6}\ge\sqrt{6}\)
Cộng theo vế ta có: \(P\ge2\sqrt{6}\).
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{3}\\b=\sqrt{2}\\c=1\end{cases}}\)
Gọi \(S=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Dễ thấy \(P-S=0\)
\(\Rightarrow2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2P\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=2\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Lời giải:
Do $a+b+c=5$ nên:
$Q=\frac{a}{ab+c(a+b+c)}+\frac{b}{bc+a(a+b+c)}+\frac{c}{ca+b(a+b+c)}=\frac{a}{(c+b)(c+a)}+\frac{b}{(a+b)(a+c)}+\frac{c}{(b+c)(b+a)}$
$=\frac{a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Theo BĐT AM-GM:
$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\left(\frac{2(a+b+c)}{3}\right)^3=\frac{1000}{27}$
Và:
$a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)=(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)^2-\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{50}{3}$
Do đó:
$Q\geq \frac{\frac{50}{3}}{\frac{1000}{27}}=\frac{9}{20}$
Vậy $Q_{\min}=\frac{9}{20}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{3}$
Lời giải:
Do $a+b+c=5$ nên:
$Q=\frac{a}{ab+c(a+b+c)}+\frac{b}{bc+a(a+b+c)}+\frac{c}{ca+b(a+b+c)}=\frac{a}{(c+b)(c+a)}+\frac{b}{(a+b)(a+c)}+\frac{c}{(b+c)(b+a)}$
$=\frac{a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Theo BĐT AM-GM:
$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\left(\frac{2(a+b+c)}{3}\right)^3=\frac{1000}{27}$
Và:
$a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)=(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)^2-\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{50}{3}$
Do đó:
$Q\geq \frac{\frac{50}{3}}{\frac{1000}{27}}=\frac{9}{20}$
Vậy $Q_{\min}=\frac{9}{20}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{3}$
mk làm r` đây nhé Câu hỏi của Lê Chí Cường - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
đề liên quan quá vậy