cho x ,y là số nguyên và 2x2 + x=3y2+y
cmr: x-y ;2x+2y+1; 3x+3y+1 đều chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
1
29 tháng 8 2023
a) \(P=3\left(x^2+2xy+y^2\right)-2\left(x+y\right)-100\)
\(P=3\left(x+y\right)^2-2.5-100\)
\(P=3.5^2-110\)
\(P=-35\)
b) \(Q=\left[x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\right]-2\left(x^2+2xy+y^2\right)+3.5+10\)
\(Q=\left(x+y\right)^3-2\left(x+y\right)^2+25\)
\(Q=5^3-2.5^2+25\)
\(Q=100\)
19 tháng 8 2023
Đặt x/3=y/4=z/5=k
=>x=3k; y=4k; z=5k
2x^2-3y^2+4z^2=280
=>2*9k^2-3*16k^2+4*25k^2=280
=>k^2=4
TH1: k=2
=>x=6; y=8; z=10
TH2: k=-2
=>x=-6; y=-8; z=-10
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 8 2021
\(\dfrac{x^2+y^2}{x-y}=\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\dfrac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\dfrac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)}}=2\sqrt{2}\)
21 tháng 1
\(2\left(x+1\right)^2+3y^2=21\)
Ta có: x,y nguyên
=>\(\left(x+1\right)^2;y^2\) là các số chính phương
mà \(2\left(x+1\right)^2+3y^2=21\)
nên \(\left[2\left(x+1\right)^2;3y^2\right]\in\left\{\left(18;3\right)\right\}\)
=>\(\left(\left(x+1\right)^2;y^2\right)\in\left(9;1\right)\)
=>\(\left(x+1;y\right)\in\left\{\left(3;-1\right);\left(3;1\right);\left(-3;-1\right);\left(-3;1\right)\right\}\)
=>\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(2;-1\right);\left(2;1\right);\left(-4;-1\right);\left(-4;1\right)\right\}\)
VD
18 tháng 3 2022
\(2\left(x+1\right)^2+3y^2=21\left(1\right)\)
Ta có: 2(x+1)2+3y2=21≥3y2⇒y2≤7
Mà y2 là SCP nên \(y^2\in\left\{0;1;4\right\}\)
Với \(y^2=0\Rightarrow y=0\), thay vào (1) ta có:
\(2\left(x+1\right)^2+3.0^2=21\\ \Rightarrow2\left(x+1\right)^2=21\\ \Rightarrow\left(x+1\right)^2=\dfrac{21}{2}\left(ktm\right)\)
Với \(y^2=1\Rightarrow y=\pm1\), thay vào (1) ta có:
\(2\left(x+1\right)^2+3.\left(\pm1\right)^2=21\\ \Rightarrow2\left(x+1\right)^2+3=21\\ \Rightarrow\left(x+1\right)^2=9\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=-3\\x+1=3\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=2\end{matrix}\right.\)
Với \(y^2=4\Rightarrow y=\pm2\), thay vào (1) ta có:
\(2\left(x+1\right)^2+3.\left(\pm2\right)^2=21\\ \Rightarrow2\left(x+1\right)^2+12=21\\ \Rightarrow\left(x+1\right)^2=\dfrac{9}{2}\left(ktm\right)\)
Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-4;1\right);\left(-4;-1\right);\left(2;1\right);\left(2;-1\right)\right\}\)
27 tháng 3 2023
A thuộc S thì A=x^2+3y^2
Nếu x chia hết cho 2 thì từ N chẵn, ta có y chia hết cho 2
=>N/4 thuộc S
Nếu x,y lẻ thì x^2-9y^2 đồng dư ra 1-9=0 mod 8
=>x-3y chia hết cho4 hoặc x+3y chia hết cho 4
Nếu x-3y chia hết cho 4 thì A/4=(x-3y/4)^2+3(x+y/4)^2
=>A/4 thuộc S
Chứng minh tương tự, ta cũng được nếu x+3y chia hết cho 4 thì A/4 cũng thuộc S
=>ĐPCM
Bạn ngonhuminh, chứng minh chỗ (1) sai rồi nhé.
Khi gọi \(d=gcd\left(x-y,2\left(x+y\right)+1\right)\) thì lúc này chưa có \(d=1\).
Vậy \(y^2⋮d\) không suy ra được \(y⋮d\) đâu nha bạn.
Tuy nhiên lời giải có thể sửa lại dễ dàng như sau:
Giả sử \(x-y\) và \(2\left(x+y\right)+1\) không nguyên tố cùng nhau, tức là sẽ có ước NGUYÊN TỐ chung lớn nhất.
Gọi số đó là \(p\). Lúc này \(y^2⋮p\Rightarrow y⋮p\). CM tương tự của bạn suy ra \(p=1\) (vô lí).
Vậy \(x-y\) và \(2\left(x+y\right)+1\) nguyên tố cùng nhau.
\(2x^2+x=3y^2+y\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-y\right)\left\{2\left(x+y\right)+1\right\}=y^2\left(1\right)\\\left(x-y\right)\left\{3\left(x+y\right)+1\right\}=x^2\left(2\right)\end{cases}}\)
Vế trái là số Cp=> VP cũng phải là số CP
Trước hết Ta c/m hai thừa số VT là nguyên tố cùng nhau
(1) g/s d là ước lớn nhất của (x-y) và 2(x+y)+1 => y cũng phải chia hết d
\(2\left(x+y\right)+1-2\left(x-y\right)=3y+1\Rightarrow d=1\)
(2)g/s d là ước lớn nhất của (x-y) và 3(x+y)+1 => x cũng phải chia hết d
\(3\left(x+y\right)+1+3\left(x-y\right)=6x+1\Rightarrow d=1\)
=>VT là số Cp xẩy hai trường hợp
TH1: cả ba thừa số đó bằng nhau
\(\left(x-y\right)=2\left(x+y\right)+1=3\left(x+y\right)+1\)Nghiệm duy nhất x=y=0 => x-y=0; 2(x+y)+1=3(x+y)+1=1 đều là số Cp
TH2: Cả hai thừa số VT là số Cp (**)
(*) (**) Hiển nhiên đúng=> dpcm