Question

[Kaneki Ken]

  Cho tam giác ABC nhọm,vẽ BD vuông góc với AC tại D và CE vuông góc với AB tại E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H. Gợi M lad trung điểm của cạnh cb.Trên tia đối của tia MH lấy điểm K sao cho MH=MK.                                                                                        a) Chứng minh tam giác BMH bằng tam giác CMK                                                                                                                              b) Chứng minh CK vuông góc với AC                                                                                                                                                  c( Vẽ HI vuông góc với BC tại I, trên tia HI lây sđiểm G sao cho HI=IG. Chứng minh GC=BK.

Answer 1

[Lưu Đức Mạnh]

a. Xét tam giác BMH và tam giác CMK ta có:

\(\hept{\begin{cases}MH=MK\\\widehat{BMH}=\widehat{CMK}\\BM=CM\end{cases}}\) 

=> tam giác BMH = tam giác CMK ( c- g- c)

b. Ta có:  \(\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\)\(\left(\Delta BMH=\Delta CMK\right)\)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong 

Nên BH // CK

Mặt khác B, H, D thẳng hàng (gt)

Nên BD //CK   (1)

Ta có: 

BD \(⊥\)AC tại D (gt)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra CK \(⊥\)AC tại C

c. Ta có: HI = GI (gt)

Mà I \(\in\)HG (gt)

Nên I là trung điểm của HG.

Xét tam giác BHG ta có:

BI là đường trung tuyến ( I là trung điểm của HG)   (3)

BI là đường cao ( BI \(⊥\)HG tại I)   (4)

Từ (3) và (4) suy ra tam giác BHG cân tại B.

=> BH = BG

Mà BH = CK ( tam giác BMH = tam giác CMK)

Nên BG = CK

Xét tam giác BHG cân tại B ta có:

BI là đường cao ( BI \(⊥\)HG tại I)

=> BI là đường phân giác của tam giác BHG.

=> BI là tia phân giác của góc HBG.

=> góc GBC = góc HBM

Mà góc KCB = góc HBM ( 2 góc so le trong và BD // CK)

Nên góc GBC = góc KCB

Xét tam giác GBC và tam giác KCB ta có:

BC = BC ( cạnh chung)   (5)

góc GBC = góc GCB ( chứng minh trên)   (6)

BG = CK ( chứng minh trên)   (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra tam giác GBC = tam giác KCB ( c- g- c)

=> GC = BK ( 2 cạnh tương ứng).