Chờ a,b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
A = (a + b + 1)(\(a^2\)+ \(b^2\)) +\(\frac{4}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
3 tháng 4 2021
Vì ( a - b )2 \(\ge\)0 \(\forall\)a,b \(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\). Mà ab = 4 \(\Rightarrow a^2+b^2\ge8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge\frac{\left(a+b-2\right).8}{a-b}\)
Đặt t = a + b \(\Rightarrow t\ge4\)( Do \(a+b\ge2\sqrt{ab}=4\))
\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}=\frac{8t-16}{t}=8-\frac{16}{t}\)
Vì \(t\ge4\Rightarrow\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge4\)Dấu '' = '' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a,b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
Vậy \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)min \(\Leftrightarrow a=b=2\)
19 tháng 5 2022
vì (a-1)2 ≥ 0 nên a2 +1 ≥ 2a ∀mọi x (1)
vì (b-1)2 ≥ 0 nên b2 +1 ≥ 2b ∀ mọi x (2)
từ 1 và 2 ⇒ a2+b2 ≥ 2a+2b
⇒ A≥ 2(a+b)=2
dấu''=' xảy ra khi a=b=1/2
DL
19 tháng 5 2019
Chỉ làm được 1 tý thôi:
\(a+b+1=8ab\Rightarrow\frac{a+b+1}{ab}=\frac{8ab}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}=8.\)
19 tháng 5 2019
Đáp án là 8 á. xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\) nhưng mình k biết cách làm.
TT
16 tháng 2 2020
Em thử nha, rất là thích BĐT :33
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có :
\(Q=\frac{a+b}{ab}+\frac{ab}{a+b}=\left(\frac{a+b}{4ab}+\frac{ab}{a+b}\right)+\frac{3\left(a+b\right)}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{a+b}{4ab}\cdot\frac{ab}{a+b}}+\frac{3\left(a+b\right)}{4ab}\)
\(\ge2\cdot\frac{1}{2}+\frac{3\cdot2}{\left(a+b\right)^2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy : min \(Q=\frac{5}{2}\) tại \(a=b=1\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab=4\Rightarrow a+b\ge2\)
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
nên A
\(\ge\frac{3\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{4}{a+b}=\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a+b}-\frac{4}{a+b}+\left(a+b^{ }\right)^2\)\(\ge6-2+4=8\)
nên min A=8 khi a=b=1
Cho hai số nguyên dương a và b thỏa mãn ab = 2010. Nếu a > b thì giá trị nhỏ nhất của a-b là