Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}>=0\forall a,b\)
\(\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall b\)
Do đó: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}+\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall a,b\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-2b+3=0\\b-1=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2b-3=2\cdot1-3=-1\end{matrix}\right.\)
Thay a=-1 và b=1 vào P, ta được:
\(P=\left(-1\right)^{2023}\cdot1^{2024}+2024=2024-1=2023\)
Ta có thể sử dụng công thức Newton về đa thức để giải bài toán này. Đặt đa thức $P(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$.
Do $a+b+c=0$, nên $P(x) = x^3 - 3kx - abc$ với $k = \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$.
Ta có thể tính được $a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)$.
Đặt $S_n = a^n + b^n + c^n$. Ta có thể suy ra các công thức sau:
$S_1 = 0$
$S_2 = a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab+bc+ca)$
$S_3 = 3abc$
$S_4 = (a^2+b^2+c^2)^2 - 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 2(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c)$
$S_5 = 5(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2) - 5abc(a+b+c)$
$S_6 = (a^2+b^2+c^2)^3 - 3(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) + 2(a^2b^2c^2)$
$S_7 = 7(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)^2 - 14abc(a^2+b^2+c^2) + 7a^2b^2c^2$
Từ đó, ta có thể tính được $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6$ dựa trên các giá trị đã biết.
Đặt $T_n = a^n+b^n+c^n - S_n$. Ta có thể suy ra các công thức sau:
$T_1 = 0$
$T_2 = 2S_2$
$T_3 = 3S_3$
$T_4 = 2S_2^2 - 4S_4$
$T_5 = 5S_2S_3 - 5S_5$
$T_6 = 2S_2S_4 + 3S_3^2 - 6S_6$
$T_7 = 7S_2S_5 - 14S_3S_4 + 7S_7$
Do $S_1=S_3=0$, nên $T_1=T_3=0$.
Từ $a+b+c=0$, ta có $a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)$. Do đó, $S_2 = 2(ab+bc+ca)$ và $S_4 = 2(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) = 2(ab+bc+ca)^2$.
Từ $a^7+b^7+c^7=0$, ta có $T_7 = 7S_2S_5 - 14S_3S_4 + 7S_7 = 7S_2S_5 - 14S_4S_3 + 7S_7 = 7S_7$.
Từ $T_7 = 7S_7$, ta có $S_7 = \frac{T_7}{7} = 0$.
Do đó, $T_6 = 2S_2S_4 + 3S_3^2 - 6S_6 = 2(2(ab+bc+ca))(2(ab+bc+ca)^2) + 3(abc)^2 - 6S_6 = 12(ab+bc+ca)^2 + 3(abc)^2 - 6S_6$.
Từ $T_6 = 12(ab+bc+ca)^2 + 3(abc)^2 - 6S_6$, ta có $S_6 = \frac{1}{6}(12(ab+bc+ca)^2 + 3(abc
Giải
Vì a + b + c = 0 nên a + b = -c
Ta có:
\(a^7+b^7=\left(a+b\right)\left(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6\right)\\ =-c\left(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6\right)\\ =c\left(-a^6+a^5b-a^4b^2+a^3b^3-a^2b^4+ab^5-b^6\right)\\ =c\left[-\left(a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\right)+\left(7a^5b+14a^4b^2+21a^3b^3+14a^2b^4+7ab^5\right)\right]\\ =c\left[-\left(a+b\right)^6+7ab\left(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4\right)\right]\\ =c\left\{-\left(a+b\right)^6+7ab\left[\left(a^2+b^2\right)^2+2ab\left(a^2+b^2\right)+3a^2b^2-2a^2b^2\right]\right\}\\ =c\left\{-\left(a+b\right)^6+7ab\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]\right\}\\ =c\left\{-c^6+7ab\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]\right\}\\ =-c^7+7abc\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]\\ \Rightarrow a^7+b^7+c^7=7abc\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]\Rightarrow7abc\left[\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\right]=0\)TH1: \(\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2=0\)
Vì \(a^2,b^2,\left(a+b\right)^2,a^2b^2\ge0\) nên \(\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0
Mà a + b + c = 0 nên suy ra c = 0
Vậy \(a^{2023}+b^{2023}+c^{2023}=0\)
TH2: abc = 0
Vì abc = 0 nên sẽ có ít nhất một trong ba số a, b, c = 0
Vì a, b, c có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử \(c=0\)
Mà a + b + c = 0 nên a + b =0 hay a = -b
\(\Rightarrow a^{2023}+b^{2023}+c^{2023}=0\)
Kết luận: \(a^{2023}+b^{2023}+c^{2023}=0\)
\(P=\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+2023}+\dfrac{1}{ca\left(c+a\right)+2023}+\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+2023}\left(abc=2023\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}+\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{ca\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)}\left(\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{ab}\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)}\left[\dfrac{a^2bc+b^2ca+c^2ab}{\left(abc\right)^2}\right]\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)}\left[\dfrac{abc\left(a+b+c\right)}{\left(abc\right)^2}\right]\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{1}{abc}=\dfrac{1}{2023}\)
- Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\sqrt{a.1}\le\dfrac{a+1}{2}\)
\(\sqrt{b.1}\le\dfrac{b+1}{2}\)
\(\sqrt{c.1}\le\dfrac{c+1}{2}\)
\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\)
\(\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}{2}\)
\(\sqrt{ca}\le\dfrac{c+a}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)+3}{2}=\dfrac{3.3+3}{2}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Mà ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=6\)
\(\Rightarrow a=b=c=1\)
\(M=\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2023}}=\dfrac{1^{30}+1^4+1^{1975}}{1^{30}+1^4+1^{2023}}=1\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2023}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\left(a+b\right)\left[\dfrac{ab+bc+ca+c^2}{abc\left(a+b+c\right)}\right]=0\)
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Đến đây bạn thay vào nữa là được nhé
Đặt a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
(a+2c)(b+2023d)
=(bk+2dk)(b+2023d)
=k(b+2d)(b+2023d)
=(bk+2023kd)(b+2d)
=(a+2023c)(b+2d)
Đặt a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
(a+2c)(b+2023d)
=(bk+2dk)(b+2023d)
=k(b+2d)(b+2023d)
=(bk+2023kd)(b+2d)
=(a+2023c)(b+2d)
