K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 6 2015

Xin lỗi, mình kém bạn 3 tuổi lận...

18 tháng 4 2017

abc= 0 suy ra a=1; b=1; c=1 còn lại tự tính

30 tháng 6 2020

Theo đánh giá bởi Bunhiacopski ta dễ có:

\(\frac{a}{b^4+c^4+a}=\frac{a\left(1+1+a^3\right)}{\left(b^4+c^4+a\right)\left(1+1+a^3\right)}\le\frac{a^4+a+a}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Tương tự rồi cộng lại ta được:

\(T\le\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Ta đi chứng minh:

\(\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\le1\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a+b+c\)

Mà \(LHS\ge abc\left(a+b+c\right)=a+b+c\Rightarrow T\le1\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

17 tháng 8 2016

ko biet lam

17 tháng 8 2016

bạn khá thông minh 

nhưg sorry mình k thể k cho bb đc nha

31 tháng 3 2018

\(b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)vì \(\left(b-c\right)^2\left(b^2+bc+c^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow T\le\frac{a}{\frac{b^2+c^2}{a}+a}+\frac{b}{\frac{a^2+c^2}{b}+b}+\frac{c}{\frac{a^2+b^2}{c}+c}=1\)

1 tháng 4 2018

rõ đi bạn

25 tháng 4 2020

Xét biểu thức \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)

\(=\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(abc+ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{4+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)(Do \(ab+bc+ca+abc=4\)theo giả thiết)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}=1\)(***)

Với x,y dương ta có 2 bất đẳng thức phụ sau:

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(*)

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(**)

Áp dụng (*) và (**), ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\frac{1}{a+b+4}=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)(2)

\(\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)(3)

Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)(theo (***))

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

25 tháng 4 2020

Bạn bổ sung cho mình dòng cuối là a = b = c = 1 nhé!

13 tháng 11 2017

\(b^4+c^4\ge\)\(b^3c+bc^3\) (bn tu cm nhé)

\(\Rightarrow\frac{a}{b^4+c^4+a}\le\frac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a}=\frac{abc}{b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+abc}=\frac{1}{b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+1}=\)

\(\frac{a^2b^2c^2}{b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+a^2b^2c^2}=\frac{a^2b^2c^2}{b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

ttu \(T\le\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\) dau = xay ra khi va chi khi a=b=c=1

9 tháng 8 2020

\(\Sigma\frac{a}{c^4+b^4+a}\le\Sigma\frac{a^2}{abc\left(c^2+b^2\right)+a^2}=1\)

11 tháng 11 2018

giỏi thì làm bài nÀY nèk

chứ mấy bác cứ đăng linh ta linh tinh lên online math

11 tháng 11 2018

Linh ta linh tinh gì. ko biết làm thì tôi mới nhờ mọi người chứ

đây là câu cuối bài khảo sat trg tôi. ko làm được thì đừng phát biểu linh tinh

DD
22 tháng 2 2022

\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=4\)

Suy ra \(minP=4\).

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{2}{c}\\a+b+c=4\\a,b,c>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=1\\c=2\end{cases}}\).

1 tháng 1 2021

Đặt bđt là (*)

Để (*) đúng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn :

\(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)thì \(a=b=c=1\) cũng thỏa mãn (*)

\(\Rightarrow4\le\sqrt[n]{\left(n+2\right)^2}\)

Mặt khác: \(\sqrt[n]{\left(n+2\right)\left(n+2\right).1...1}\le\frac{2n+4+\left(n-2\right)}{n}=3+\frac{2}{n}\)

Hay \(n\le2\)

Với n=2 . Thay vào (*) : ta cần CM BĐT 

\(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{3}{16}\)

Với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Vì: \(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{\left(2b+a+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)};\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)

Ta cần CM: 

\(\frac{a+b+c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{3}{16}\Leftrightarrow16\left(a+b+c\right)\le6\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Ta có BĐT: \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Và: \(3\left(ab+cb+ac\right)\le3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+cb+ca\right)^2\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\)

=> đpcm

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c

=> số nguyên dương lớn nhất : n=2( thỏa mãn)

8 tháng 7 2020

\(b^4+c^4-bc\left(b^2+c^2\right)=\left(b^2+bc+c^2\right)\left(b-c\right)^2\)

\(\Rightarrow b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)

Tương tự\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+b^4+c^4}\le\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\)

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)=1\)

oke rồi he

8 tháng 7 2020

@Nub :v

Áp dụng Bunhiacopski ta dễ có:

\(\frac{a}{b^4+c^4+a}=\frac{a\left(1+1+a^3\right)}{\left(b^4+c^4+a\right)\left(1+1+a^3\right)}\le\frac{a^4+2a}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Tương tự:

\(\frac{b}{a^4+c^4+b}\le\frac{b^4+2b}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2};\frac{c}{a^4+b^4+c}\le\frac{c^4+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Cộng lại:

\(A\le\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Ta đi chứng minh:

\(\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\le1\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Cái này luôn  đúng theo Cauchy

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1