Question

[Nguyễn Thị Ngọc Hà]

Cho x,y >0 và  \(x+y\le1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\)

Answer 1

[Đỗ Tuấn Anh]

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

ta có\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức côsin cho 2 số dương , ta có:

\(2\sqrt{xy}\le x+y\le1\Leftrightarrow2xy\le\frac{1}{2}\)

Để A đạt GTNN thì \(\left(x+y\right)^2\)va\(2xy\) phai dat GTLN

\(\Rightarrow A\ge\frac{4}{1}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow A\ge\frac{9}{2}\)

\(a=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[sakura]

=1/2

ai k mk thì mk tịk lại